Aufgabe:
Strikte lokale Maximalstelle einer bestimmten Funktion
Problem/Ansatz:
mir fällt es wirklich schwer den Beweis von Aufgabe (v) (siehe Bild)
Text erkannt:
Aufgabe \( 7.5 \quad \) (Stetigkeit II - 10 Punkte) Wir definieren die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) durch
$$ f(x):=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{m}, & \text { falls } x \in \mathbb{Q} \text { mit } x=\frac{n}{m} \text { für zwei teilerfremde Zahlen } n \in \mathbb{Z} \text { und } m \in \mathbb{N} \\ 0, & \text { falls } x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{array}\right. $$
Zeigen Sie:
(i) \( f \) ist in keinem Punkt \( x \in \mathbb{Q} \) stetig.
(ii) \( f \) ist in jedem Punkt \( x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \) stetig.
(iii) \( f \) ist 1-periodisch, das heißt, es gilt \( f(x+1)=f(x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).
(iv) Für alle \( \varepsilon>0 \) gilt \( \left|f^{-1}([\varepsilon, \infty)) \cap(0,1)\right|<\infty \).
(v) Jeder Punkt \( x_{0} \in \mathbb{Q} \) ist eine strikte lokale Maximalstelle der Funktion \( f \), das heißt
$$ \forall x_{0} \in \mathbb{Q} \exists \delta>0 \forall x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right) \backslash\left\{x_{0}\right\}: f(x)<f\left(x_{0}\right) $$
Kann mir da einer sagen wie so eine Lösungsidee aussehen könnte und villt die Abschätzung dazu? Das wäre sehr nett!!
Vielen Dank im Voraus!
