Gammafunktion Integral Konvergenz

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Wenn man das Integral nach 1/t^2 abschätzt und das anschließend integriert, bekommt man \( \frac{-1}{t} \). Möchte man das jetzt an den Stellen 0 und unendlich auswerten ist das nicht möglich , weil man hier durch 0 dividieren würde. Ich verstehe den Sinn hinter dieser Aufgabe nicht oder übersehe ich etwas?

Comments

Für mich bedeutet das, dass \(t^{x-1}e^{-t}\leq \frac{1}{t^2}\) für \(x\geq 1\) abgeschätzt werden soll. Diese Ungleichung gilt aber bereits für \(x=t=2\) nicht mehr, denn \(2^{2-1}\cdot e^{-2}\approx 0.27\), wobei \(\frac{1}{t^2}=\frac{1}{4}=0.25\)

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Man muss das Integral aufspalten z.B.: $$ \Gamma(x) = \int_0^1 t^{x-1}e^{-t} \textrm d t + \int_{1}^\infty t^{x-1}e^{-t} \textrm d t $$ Du schätzt nur den zweiten mit \(  \frac{1}{t^2} \) ab. Beachte, dass

$$ t^{x-1} e^{-t} \le \underbrace{ \left( \max_{t\in[1,\infty)} t^{x+1}e^{-t} \right)}_{=: ~C} \frac{1}{t^2} $$

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Ja gut, mit der Konstante \(C\) geht das natürlich. Finde die Aufgabe trotzdem seltsam formuliert.

Answer 1

Zu jedem \( x > 0 \) gibt es ein \( t_0 > 0 \) s.d. für alle \( t \ge t_0 \) gilt $$ t^{x-1} e^{-t} \le \frac{1}{t^2} $$

D.h. $$ \int_{t_0}^\infty t^{x-1} e^{-t} dt \le \int_{t_0}^\infty \frac{1}{t^2} dt = \frac{1}{t_0} < \infty $$

Und weiter gilt $$ \int_0^{t_0} t^{x-1} e^{-t} dt \le \int_{0}^{t_0} t^{x-1} dt = \frac{1}{x} t_0^x < \infty $$

Also gilt $$ \Gamma(x) < \infty $$

Steht überall im Internet und in jedem Analysisbuch

https://www.mat.univie.ac.at/~peter/lehre/lm/gmwlstir.pdf

https://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Integralrechnung/Folien_Gamma-Funktion.pdf

https://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/a2/11/vorlesungen/vor6-anaII.pdf

https://www.math.kit.edu/iana2/lehre/anaii2007s/media/ana2_02_loesung.pdf

https://www.asc.tuwien.ac.at/~herfort/BAKK/M_Hirschmanner_Gammafunktion.pdf

https://me-lrt.de/06-gammafunktion-integrierbarkeit-konvergenz

Ein bisschen recherieren hätte Dich selber weiter gebracht.