Aufgabe:
Problem/Ansatz:
Wenn man das Integral nach 1/t^2 abschätzt und das anschließend integriert, bekommt man −1t \frac{-1}{t} t−1. Möchte man das jetzt an den Stellen 0 und unendlich auswerten ist das nicht möglich , weil man hier durch 0 dividieren würde. Ich verstehe den Sinn hinter dieser Aufgabe nicht oder übersehe ich etwas?
Für mich bedeutet das, dass tx−1e−t≤1t2t^{x-1}e^{-t}\leq \frac{1}{t^2}tx−1e−t≤t21 für x≥1x\geq 1x≥1 abgeschätzt werden soll. Diese Ungleichung gilt aber bereits für x=t=2x=t=2x=t=2 nicht mehr, denn 22−1⋅e−2≈0.272^{2-1}\cdot e^{-2}\approx 0.2722−1⋅e−2≈0.27, wobei 1t2=14=0.25\frac{1}{t^2}=\frac{1}{4}=0.25t21=41=0.25
Man muss das Integral aufspalten z.B.: Γ(x)=∫01tx−1e−tdt+∫1∞tx−1e−tdt \Gamma(x) = \int_0^1 t^{x-1}e^{-t} \textrm d t + \int_{1}^\infty t^{x-1}e^{-t} \textrm d t Γ(x)=∫01tx−1e−tdt+∫1∞tx−1e−tdt Du schätzt nur den zweiten mit 1t2 \frac{1}{t^2} t21 ab. Beachte, dass
tx−1e−t≤(maxt∈[1,∞)tx+1e−t)⏟= : C1t2 t^{x-1} e^{-t} \le \underbrace{ \left( \max_{t\in[1,\infty)} t^{x+1}e^{-t} \right)}_{=: ~C} \frac{1}{t^2} tx−1e−t≤= : C(t∈[1,∞)maxtx+1e−t)t21
Ja gut, mit der Konstante CCC geht das natürlich. Finde die Aufgabe trotzdem seltsam formuliert.
Zu jedem x>0 x > 0 x>0 gibt es ein t0>0 t_0 > 0 t0>0 s.d. für alle t≥t0 t \ge t_0 t≥t0 gilt tx−1e−t≤1t2 t^{x-1} e^{-t} \le \frac{1}{t^2} tx−1e−t≤t21
D.h. ∫t0∞tx−1e−tdt≤∫t0∞1t2dt=1t0<∞ \int_{t_0}^\infty t^{x-1} e^{-t} dt \le \int_{t_0}^\infty \frac{1}{t^2} dt = \frac{1}{t_0} < \infty ∫t0∞tx−1e−tdt≤∫t0∞t21dt=t01<∞
Und weiter gilt ∫0t0tx−1e−tdt≤∫0t0tx−1dt=1xt0x<∞ \int_0^{t_0} t^{x-1} e^{-t} dt \le \int_{0}^{t_0} t^{x-1} dt = \frac{1}{x} t_0^x < \infty ∫0t0tx−1e−tdt≤∫0t0tx−1dt=x1t0x<∞
Also gilt Γ(x)<∞ \Gamma(x) < \infty Γ(x)<∞
Steht überall im Internet und in jedem Analysisbuch
https://www.mat.univie.ac.at/~peter/lehre/lm/gmwlstir.pdf
https://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Integralrechnung…
https://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/a2/11/vorles…
https://www.math.kit.edu/iana2/lehre/anaii2007s/media/ana2_02_loesun…
https://www.asc.tuwien.ac.at/~herfort/BAKK/M_Hirschmanner_Gammafunkt…
https://me-lrt.de/06-gammafunktion-integrierbarkeit-konvergenz
Ein bisschen recherieren hätte Dich selber weiter gebracht.
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