Aloha :)
Die Berechnung des Integrals$$I\coloneqq\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\,???$$ist mit dem angegebenen Tipp maximal kompliziert. Daher möchte ich einen anderen Weg vorschlagen. Anstelle von \(I\) berechnen wir \(I^2\):$$I^2=I\cdot I=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx\cdot\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-y^2}\,dy=\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\cdot e^{-y^2}\,dx\,dy=\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$$
Wir gehen nun zu Polarkoordinaten über:$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad dx\,dy=r\,dr\,d\varphi\quad;\quad r\in[0;\infty]\;,\;\varphi\in[0;2\pi]$$und substituieren entsprechend:
$$I^2=\int\limits_0^\infty\int\limits_0^{2\pi}e^{-r^2}\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^\infty re^{-r^2}\,dr=2\pi\left[-\frac{e^{-r^2}}{2}\right]_0^\infty=2\pi\left(0+\frac{1}{2}\right)=\pi$$
Damit sind wir fertig:$$I=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}$$
