Bindungswinkel mit Vektoren bestimmen

Question

Aufgabe:

Ein Kristallgitter werde durch die Basisvektoren \( \vec{a} \)₁, \( \vec{a} \)₂ und \( \vec{a} \)₃ aufgespannt. Es gelte:

- Die Vektoren \( \vec{a} \)₁ und \( \vec{a} \)₂ haben die Länge a und \( \vec{a} \)₃ die Länge b.

- \( \vec{a} \)₁ ⊥ \( \vec{a} \)₂ und \( \vec{a} \)₂ ⊥ \( \vec{a} \)₃

- Die Vektoren \( \vec{a} \)₁ und \( \vec{a} \)₃ schließen den Winkel α=\( \frac{π}{4} \) ein.

Berechnen Sie den Bindungswinkel zwischen dem Atom im Ursprung und den beiden Atomen an der Position \( \vec{b} \)₁ = \( \frac{1}{2} \) ( \( \vec{a} \)₁+\( \vec{a} \)₂ ) und \( \vec{b} \)₂=\( \frac{1}{2} \) \( \vec{a} \)₃.

Habe leider gar keine Anhaltspunkte.

Answer 1

Hallo Alice,

mache Dir eine Skizze:

der gesuchte Winkel ist der zwischen den Vektoren \(\vec{AB_1} = \vec b_1\) und \(\vec{AB_2} = \vec b_2\), hier gelb dargestellt. Einen Winkel \(\varphi\) zwischen zwei Vektoren \(\vec x\) und \(\vec y\) kann man aus dem Skalarprodukt berechnen. Es gilt$$\varphi = \arccos\left( \frac{\vec x \cdot \vec y}{|\vec x| \cdot |\vec y|}\right)$$ und hier ist $$\vec b_1 = \frac 12(\vec a_1 + \vec a_2) \\ \vec b_2 = \frac 12 \vec a_3 $$Folglich ist der Winkel \(\varphi\) zwischen diesen beiden Vektoren$$\begin{aligned} \varphi &= \arccos\left( \frac{\vec b_1 \cdot \vec b_2}{|\vec b_1| \cdot |\vec b_2|} \right) \\&= \arccos\left( \frac{\frac 12(\vec a_1 + \vec a_2) \cdot \frac 12 \vec a_3 }{ \frac a2 \sqrt 2 \cdot \frac 12 b} \right) \\&= \arccos\left( \frac{\vec a_1 \cdot \vec a_3 + \vec a_2 \cdot \vec a_3 }{ab \sqrt 2} \right) \\&= \arccos\left( \frac{ab \cos\left( \frac \pi4\right) }{ab \sqrt 2}\right) \\&= \arccos\left( \frac 12 \right)  = \frac{\pi}{3}= 60°\end{aligned}$$Falls Du zu den Umformungen noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Hallo Werner,

wir rätseln gerade, woher die √2 bei den Umformungen herkommt.

Kannst du uns helfen?

Grüße

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wir rätseln gerade, woher die √2 bei den Umformungen herkommt.

$$\vec b_1 = \frac 12 (\vec a_1 + \vec a_2) \\ |\vec a_1| = |\vec a_2| = a \\ \vec a_1 \perp \vec a_2$$ das war gegeben (s.o.) oder besser: siehe Bild in meiner Antwort. Dort sieht man doch gleich, dass der Vektor \(\vec b_1 = \vec{AB_1}\) genau so lang ist wie die halbe Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge \(a\) - also \(|\vec b_1| = \frac 12 \sqrt 2\, a\).

Man kann es aber auch mit dem Cosinussatz aus dem Vektordreieck$$2 \vec b_1 = \vec a_1 + \vec a_2$$berechnen:$$\begin{aligned} |2\vec b_1| ^2 &= |\vec a_1|^2 + |\vec a_2|^2 - 2 |\vec a_1|\cdot  |\vec a_2| \cdot \cos(\underbrace{\pi - \frac \pi2}_{*)}) \\ 4 |\vec b_1|^2 &= a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot 0 \\ |\vec b_1|^2 &= \frac 12 a^2 \\ |\vec b_1| &= \frac 12 \sqrt 2 \, a\end{aligned}$$*) Nebenwinkel von \(\pi/2\) wegen \(\vec a_1 \perp \vec a_2\)

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Das hat die Frage geklärt :)