Grenzwert von (0.75)^{2n} (Geometrische Reihe)

Question

Aufgabe:

Grenzwert von (0.75)^{2n}

Problem/Ansatz:

Wenn ich den Grenzwert von \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} 0.75^{n} \) berechnen will, folgt mit der Geometrischen Reihe bzw. \( \sum \limits_{k=0}^{n-1} x^{k}=\frac{1-x^{n}}{1-x} \)

(1-0.75^n)/(1-0.75)=4*(1-0.75^n)= 4

Allerdings ist mir nicht klar wenn ich z. B. \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} 0.75^{2 n} \) habe wie dort der Grenzwert folgt.

Kann mir jemand erklären, was dort anders ist bzw. wie ich vorzugehen habe?

Answer 1

Aloha :)

$$\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{3}{4}\right)^{2n}=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\left(\frac{3}{4}\right)^2\right)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{9}{16}\right)^n=\frac{1}{1-\frac{9}{16}}=\frac{16}{7}$$

Answer 2

Die Formel ist für |q|>1

a0/(1-q)

1/(1-0,75) = 4

0,75^(2n)= (0,75^2)^n = 0,5625^n

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Comments

Das ist ja viel einfacher als ich gedacht habe, vielen Dank :).

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Sollte nicht |q|<1 gemeint sein?