Bilde eine Orthonormalbasis

Question

Aufgabe:

Es sei P₂(ℝ) der ℝ-Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2 mit reellen Koeffizienten. Wir definieren auf P₂(ℝ) ein Skalarprodukt durch〈f,g〉:= \( \int\limits_{-1}^{1} \) f(x)g(x)dx.

Sie müssen nicht zeigen, dass〈,〉ein Skalarprodukt ist. Benutzen Sie das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren, um die Basis e₀ = 1, e₁ = x, e₂ = x² in eine Orthonormalbasis b₀,b₁,b₂ von P₂(ℝ) umzuformen.

Problem/Ansatz:

Ich weiß wie man das Gramm-Schmidt Verfaren anwendet, allerdings weiß ich nicht wie ich auf die Vektoren komme die ich für das Verfahren brauche. Wie werden aus e_0, e₁, e₂  Vektoren?

Answer 1

Das sind Polynome. Und es findet im Vektorraum der

Polynome statt. Also etwa <eo , eo > ist 2, also musst

du eo auf 1/√2 statt 1 normieren.

Comments

Wenn ich das Gramm-Schmidt Verfahren anwende, gehe ich wie folgt vor:

-ich setze den ersten Vektor e₀ als U₁

-Ich normiere U₁  

- Dann bestimme ich < U₁ , e₁ >

- Dann bestimme ich U₂ 

- Dann normiere ich U₂

Das mache ich bis ich alle Vektoren durch habe und schreibe diese als Orthonormalbasis auf.

Wie fange ich hier in der Aufgabe an, also wie normiere ich hier e₀ bzw. e₁ und e₂?

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Ich hatte meinen vorherigen Kommentar eigentlich geändert, also ich verstehe jetzt wie ich das Gramm Schmidt Verfahren anwende.

Wieso ist <e₁,e₁>=2? Müsste ich da nicht folgendes rechnen:

\( \int\limits_{-1}^{1} \) x*xdx = \( \frac{2}{3} \)

Eine zweite Frage:

Wenn ich normiere, verwende ich folgende Formel: ||x||= \( \sqrt{<x,x>} \) wie kann ich e₁ dann auf 0,5 normieren? Ich hätte es sonst einfach in diese Formel eingesetzt.

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Wieso ist <e1,e1>=2?

Da hatte ich mich vertan und meinte <eo,eo>=2

Also ||eo|| = √2  und somit bo= 1/√2 .

War wohl doch schon etwas spät.

Und weiter geht es dann ganz klassisch

b1 '  = e1 - <bo,e1>*bo

 = x - \( \int\limits_{-1}^{1} \) x*1/√2 dx   *1/√2

=  x -   0 *1/√2  =   x

und nun b1 ' normieren gibt b1 = x *√(3/2) .

und b2 ' = e2 - <bo,e2>*bo - <b1,e2>*b1

      = x^2   -  √2 /3 *  1/√2 - 0*x

      = x^2 - 1/3 =

Noch normieren gibt b2 =( x^2 - 1/3)*0,75√10

Ich hoffe, dass es jetzt stimmt, rechne lieber nach.

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Achso, jetzt verstehe ich es vielen Dank!