Bei mir funktioniert das auch.
Lösen der biquadratischen Gleichung 2x^4 + 4x³ - 26x² - 76x - 48 = 0
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Die Gleichung wird zunächst durch Division mit 2 auf die Normalform
x^4 + ax³ + bx² + cx + d = 0 gebracht.
x^4 + 2x³ - 13x² - 38x - 24 = 0
Durch die Substitution x = y - a/4 wird die Gleichung in die Form
y^4 + py² + qy + r = 0 gebracht, die kein kubisches Glied mehr aufweist.
(y - 0,5)^4 + 2(y - 0,5)³ - 13(y - 0,5)² - 38(y - 0,5) - 24 = 0
Statt auszumultiplizieren, kann man die neuen Koeffizienten auch direkt berechnen:
p = b - 3a²/8 = -14,5
q = a³/8-ab/2+c = -24
r = -(3a^4 - 16a²b + 64ac - 256d)/256 = -8,4375
y^4 - 14,5y² - 24y - 8,4375 = 0
Diese Gleichung kann über ihre kubische Resolvente z³ - 2pz² + (p²-4r)z + q² = 0
gelöst werden.
z³ + 29z² + 244z + 576 = 0
Man benötigt also zunächst die Lösungen dieser Gleichung.
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Lösen der kubischen Gleichung x³ + 29x² + 244x + 576 = 0
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Die kubische Gleichung liegt bereits in der Normalform x³ + rx² + sx + t = 0 vor.
Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form
y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt.
(y - 9,666666666666666)³ + 29(y - 9,666666666666666)² + 244(y - 9,666666666666666) + 576 = 0
Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:
p = s - r²/3 = -36,333333333333314
q = 2r³/27 - rs/3 + t = 23,925925925926094
y³ - 36,333333333333314y + 23,925925925926094 = 0
Aus der Gleichung liest man also ab:
p = -36,333333333333314 q = 23,925925925926094
Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden.
Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen,
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen,
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen.
Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe
trigonometrischer Funktionen.
Im Falle dieser Gleichung ist R = -1633,3333333333285.
Da R < 0, liegt der casus irreducibilis vor. Man erhält die Lösungen mit
y = 2·kubikwurzel(u)·cos(w/3 + v), wobei u = sqr(-(p/3)³) und cos(w) = -q/(2u) ist,
und v die Werte 0, 120° und 240° annimmt.
cos(w) = -0,28383292672149935 u = 42,14790405449071
y = 5,666666666666662
1
y = -6,333333333333334
2
y = 0,6666666666666667
3
Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht.
r=29 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung.
Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:
x = -16
1
x = -9
2
x = -4
3
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Zurück zur Lösung der biquadratischen Gleichung.
Das Lösungsverfahren für kubische Gleichungen ergab also für das z der
kubischen Resolvente:
z = -16
1
z = -9
2
z = -4
3
Nach dem Satz von Vieta muß das Produkt der drei Lösungen gleich dem linearen Glied
der Gleichung sein, hier also q² = 576.
Die Lösungen für y ergeben sich nun folgendermaßen:
y = ( sqr(-z ) + sqr(-z ) + sqr(-z ) ) / 2
1 1 2 3
y = ( sqr(-z ) - sqr(-z ) - sqr(-z ) ) / 2
2 1 2 3
y = (-sqr(-z ) + sqr(-z ) - sqr(-z ) ) / 2
3 1 2 3
y = (-sqr(-z ) - sqr(-z ) + sqr(-z ) ) / 2
4 1 2 3
wobei jedoch die Wahl der Vorzeichen der Wurzeln so getroffen werden muß, daß deren
Produkt gleich -q = 24 ist.
Die Wurzeln
sqr(16) = -4
sqr(9) = 3
sqr(4) = -2
erfüllen diese Bedingung.
Damit ergeben sich folgende Werte für y
y = -1,5
1
y = -2,5
2
y = 4,5
3
y = -0,5
4
und nach Subtraktion von a/4 ( = 0,5 ) die Lösungen der gegebenen
biquadratischen Gleichung:
x = -2
1
x = -3
2
x = 4
3
x = -1
4
