Aloha ;)
Am einfachsten findet man das Potential in der Regel durch direktes Integrieren. Wenn es ein Potential gibt, dann ist das Kurvenintegral unabhängig vom Weg:$$P(x,y)=\int\limits_{(0;0)}^{(x,y)}\binom{4x'+5y'}{ax'-5y'}d\vec r'$$Die Striche sollen keine Ableitung bedeuten, sondern die Integrationsvariablen von den Integrationsgrenzen unterscheiden. Den Weg wählen wir entlang der Koordinatenachsen:
$$P(x,y)=\int\limits_{(0;0)}^{(x,0)}\binom{4x'+5y'}{ax'-5y'}\binom{dx'}{dy'}+\int\limits_{(x;0)}^{(x,y)}\binom{4x'+5y'}{ax'-5y'}\binom{dx'}{dy'}$$Im ersten Integral ist \(y'=0\) und ändert sich nicht, also ist \(dy'=0\). Im zweiten Integral ist \(x'=x\) und ändert sich nicht, also ist \(dx'=0\). Damit erhalten wir:$$P(x,y)=\int\limits_0^x4x'dx'+\int\limits_0^y(ax-5y')dy'=\left[2(x')^2\right]_{x'=0}^x+\left[axy'-\frac{5}{2}(y')^2\right]_{y'=0}^y$$$$P(x,y)=2x^2+axy-\frac{5}{2}y^2$$
Wir haben \(P(x,y)\) für einen bestimmten Weg berechnet. Wir müssen noch prüfen, ob das Ergebnis auch für alle Wege gilt. Dazu bilden wir den Gradienten und vergleichen das Ergebnis mit dem Vektorfeld:$$\operatorname{grad}P(x,y)=\binom{4x+ay}{ax-5y}\stackrel{!}{=}\binom{4x+5y}{ax-5y}\implies a=5$$Nur für den Fall \(a=5\) gibt es ein Potential zu dem gegebenen Vektorfeld.
