Zeige mittels der Cebyšëv- Ungleichung, dass Xn := 1 n n ∑ k=1 Xk stochastisch gegen 0 konvergiert

Question

Aufgabe:

Es seien (X_n)_n∈ℕ unabhängige, standardnormalverteilte zufällige Größen. Zeige mittels der Cebyšëv- Ungleichung, dass \( \bar{X}_{n}:=\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} X_{k} \) stochastisch gegen 0 konvergiert.

könnte mir jemand helfen bitte?

Vielen Dank im Voraus! :)

Comments

Kann es sein, dass Du einen wichtige Eigenschschaft der ZV \( X_n \) nicht erwähnt hast?

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Die Eigenschaft wurde von meinem Lehrer in der Aufgabe nicht erwähnt also keine Ahnung

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Ich denke Du sollst zeigen, dass der Mittelwert gegen den Erwartungswert konvergiert. Wenn der Mittelwert gegen Null konvergieren soll, bedeutet das, das der Erwartungswert Null sein muss. Ist das irgendwo erwähnt? Haben die \( X_k \) alle gleichen Erwartungswert und Varianz?

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Und wie kann ich das zeigen?..

Answer 1

1. Schreibe Dir mal die Tschebyscheffsche Ungleichung hin für den Mittelwert

2. Rechne den Erwartungswert des Mittelwertes aus

3. Rechne die Varianz des Mittelwertes aus unter Verwendung der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen

4. Wende nun die Tschebyscheffsche Ungleichung an und führe den Grenzübergang \( n \to \infty \) durch.

Dann solltest Du klar kommen.