Allgemeines Glied einer Zahlenfolge

Question

Schreibe die ungeraden Zahlen in ihrer natürlichen Reihenfolge pyramidenförmig auf:

			1
		3		5
	7		9		11
13		15		17		19

und so weiter.

Beweise die beobachtete Gesetzmäßigkeit der Folge der Zeilensummen.

Comments

Die Zeilensummen sind   1  , 8 , 27  , 64   und so weiter.

das "und so weiter" ist ein Zitat und solange du das nicht präzisierst kann es keinen formalen Beweis einer Vermutung geben.

Das bedeutet, dass ein paar Aussagen der Form "In der mittleren Spalte stehen die Quadratzahlen n², in jeder Zeile wird links und rechts gleichmäßig viel subtrahiert wie addiert, in der n-ten Zeile stehen n Zahlen" letztlich nur WischiWaschi sind.

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Ich habe das so verstanden.

Wir haben die ungeraden Zahlen in i -Zeilen und k-Spalten nach Rolands Vorgabe angeordnet.

Nun sollen wir eine Aussage über die Summe der Zeilen machen und diese Aussage begründen.

Answer 1

$$a_{i1}=i(i-1)+1=i^2-(i-1)$$

$$ \sum\limits_{k=1}^{i}{a_{ik}}=i*a_{i1}+2*\sum\limits_{k=1}^{i-1}{k}=$$$$i^3-i(i-1)+i(i-1)=i^3 $$

Answer 2

Die n-te Zeilensumme hat den Wert n^3 und die Anzahl der

bis dahin verbrauchten Zahlen beträgt 1+2+3+...+n.

Damit sollte es dann per Induktion gehen.

Comments

Das geht auch ganz ohne Induktion.

Der Satzteil "die Anzahl der bis dahin verbrauchten Zahlen beträgt 1+2+3+...+n." ist sehr unglücklich formuliert.

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Danke für den hilfreichen Kommentar.

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Das geht auch ganz ohne Induktion.

Warum stellst du die Frage dann, wenn du eh schon die Lösung kennst? Wenn du deine Fragen schon Dummy testen willst, dann frag ein paar Schüler, die kommen auch nicht mit vollständiger Induktion an.