Matrix A ist invertierbar

Question

Aufgabe:

Sei \( A \in K^{(n, n)} \) invertierbar und \( u \in K^{n}, u \neq \mathcal{O} . \) Man zeige: \( A \cdot u \neq \mathcal{O} \)

Problem/Ansatz:

Da ja A invertierbar ist eben

A invertierbar <=> Rang(A) = n

Ich habe gedacht, dass man vielleicht mit der Ungleichung

\( \operatorname{rang}(A)+\operatorname{rang}(B)-n \leq \operatorname{rang}(A \cdot B) \leq \min \{\operatorname{rang}(A), \operatorname{rang}(B)\} \)

was anfagen könnte, aber ich glaube damit wird man nicht weiterkommen... würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte

Comments

Was wäre denn, wenn es ein \( u \neq 0 \) mit \( A\cdot u = 0 = A\cdot 0 \) gäbe?

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Dann wäre es ein Widerspruch? Nur wie zeigt man das?

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Du weißt, dass A invertierbar ist, d.h. A besitzt ein Inverses. Verwende das.

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Ich kann dir leider nicht folgen, was ich machen soll, könntest du das nochmal näher erläutern?

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betrachte doch mal den Fall \( n = 1 \) und \( K = \mathbb{Q} \)

jetzt hast du z.B. eine Gleichung der Form \( 2 \cdot x = 2 \cdot y \) mit \( x \neq y \), \( A = 2 \), wie würdest du da einen Widerspruch herleiten?

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Geteilt durch 2, dann wäre ja x=y was ein Widerspruch wäre

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Ok, du teilst also durch 2, d.h. du multiplizierst beide Seiten mit \( \frac 1 2 = 2^{-1} \). Was könntest du jetzt bei Matrizen machen?

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Ich könnte (A*u)^-1 zu A^-1*u^-1 umschreiben oder auch A^-1 * 0^-1

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Nein, das kannst du nicht. Was ist denn das Inverse einen Vektors? Aber betrachte doch mal $$ A^{-1} \cdot A \cdot u = A^{-1} \cdot A \cdot 0 $$

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Das würde wieder den Einheitsvektor ergeben aber was soll das bringen?

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\( A^{-1} \cdot A = E_n \) ist die Einheitsmatrix - kein Vektor! Also \( v = E_n v = E_n 0 = 0 \) Widerspruch...

Jetzt kannst du noch versuchen einen direkten Beweis zu formulieren.

Answer 1

Sind \(v_1, ..., v_n\) die Spalten von \(A\) und ist

        \(u = \begin{pmatrix}u_1\\\vdots\\u_n\end{pmatrix}\),

dann ist

        \(A\cdot u = u_1v_1+\dots +u_nv_n\).

Ist \(\operatorname{Rang} A = n\), dann ist \(\left(v_1, ..., v_n\right)\) linear unabhängig, also ist die Gleichung

        \(u_1v_1+\dots +u_nv_n = 0\)

eindeutig lösbar mit \(u_1=\dots =u_n = 0\).

Comments

Danke, aber soll man nicht zeigen dass A*u eben nicht der nullvektor ist?

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Ja sollte man. Unter der Vorassetztung dass \(u\) nicht der Nullvektor ist. Man sollte also

(1)        \(u\neq 0 \implies Au \neq 0\)

zeigen. Ich habe

(2)        \(Au = 0 \implies u = 0\)

gezeigt. (2) ist die Kontraposition von (1), also äquivalent zu (1).

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Ach so, danke