Zeige, dass A dann die Form λEn für ein λ ∈ K haben muss.

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper und A ∈ Mn×n(K) eine Matrix, für die gilt: AB = BA für alle B ∈ Mn×n(K). Zeige, dass A dann die Form λEn für ein λ ∈ K haben muss.
Hinweis: Betrachte die Matrizen Eij, die an der Stelle (i,j) den Eintrag 1 und sonst 0 haben.

Problem/Ansatz:

Ich dachte man müsste hier mit der Einheitsmatrix arbeiten, aber das stimmt anscheinen nicht. Könnte mir das vlt. hier jemand erklären?

Comments

Ich grüße von der WWU Münster , mein Freund!

Answer 1

Wird vielleicht anschaulicher, wenn du das erst mal nur für n=3 testest:

Betrachte $$A=\begin{pmatrix} a & b &c\\ d & e&f\\g&h&i \end{pmatrix} B=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 0&0\\0&0&0 \end{pmatrix}$$

Berechne nun A*B und B*A das gibt einmal

a   0    0
d   0    0
g   0    0

und dann

a   b   c
0    0    0
0    0    0

Da ja für alle A und B vorausgesetzt ist A*B = B*A müssen also bcdg schon

mal gleich 0 sein und a ist beliebig.

Jetzt mach das gleiche mit einer anderen Matrix B, nämlich mit

$$B=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 0&0\\0&0&0 \end{pmatrix}$$

und du erkennst für die anderen Stellen was.

Dann musst du es nur allgemein beschreiben, wie es da steht:

Betrachte die Matrizen Eij, die an der Stelle (i,j) den Eintrag 1 und sonst 0 haben.