dgl erste Ordnung in autonomes System umwandeln.

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie: Jede Dgl. erster Ordnung \( y^{\prime}(t)=f(t, y(t)) \) kann in ein autonomes System von Dgln umgewandelt werden. Hinweis: \( \vec{y}_{\text {neu }}(t):=(t, y(t))^{T} \)

Problem/Ansatz:

Wenn ich die Theorie des Autonomen Systems verstanden habe, dann darf t nur noch als Parameter einer Funktion vorkomme => Die Funktion \( y^{\prime}(t)=f(y(t)) \) muss dabei rauskommen. Ich bin ehrlich gesagt ein wenig überfordert, wie ich anfangen soll. Am Ende bin ich auf dem falschen Weg die Aufgabe zu lösen.

Answer 1

Hallo,

das geht so: Ich verwende mal zur SchreibVerinfachung \(z(t)=\begin{pmatrix}t \\y(t) \end{pmatrix}\)

Dann gilt:

$$z'(t)=\begin{pmatrix}1 \\ y'(t))\end{pmatrix}$$

Dazu definieren wir \(F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) mit

$$F(w)=\begin{pmatrix} 1 \\ f(w_1,w_2)\end{pmatrix}$$

Dann ist in der Tag:

$$z'(t)=\begin{pmatrix}1 \\y'(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\f(z_1(t),z_2(t))\end{pmatrix}=F(z(t))$$

Gruß

Comments

Vielen Dank. Bist du der echte MathePeter von YT?

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Nein, ich bin der falsche MathePeter von Mathelounge

Gruß