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Willkommen in der Mathelounge...
1) Kommutativität:$$a\ast b=\sqrt{a^3+b^3}=\sqrt{b^3+a^3}=b\ast a\quad\checkmark$$
2) Existenz eines neutralen Elements:$$a\ast0=\sqrt[3]{a^3+0^3}=\sqrt[3]{a^3}=a\quad\checkmark$$Das neutale Element ist also die \(0\) aus \(\mathbb R\). Beachte, dass diese Beziehung auch für \(a<0\) gilt, denn \(\sqrt[3]{a^3}=\sqrt[3]{(-|a|)^3}=-\sqrt[3]{(|a|)^3}=-|a|=a\)
3) Existenz eines inversen Elements:$$a\ast(-a)=\sqrt[3]{a^3+(-a)^3}=\sqrt[3]{a^3-a^3}=\sqrt[3]{0}=0\quad\checkmark$$Das inverese Element ist also die entsprechende negative Zahl aus \(\mathbb R\).
4) Assoziativgesetz:$$(a\ast b)\ast c=\sqrt[3]{(a\ast b)^3+c^3}=\sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{a^3+b^3}\right)^3+c^3}=\sqrt[3]{a^3+b^3+c^3}$$$$a\ast(b\ast c)=\sqrt[3]{a+(b\ast c)^3}=\sqrt[3]{a^3+\left(\sqrt[3]{b^3+c^3}\right)^3}=\sqrt[3]{a^3+b^3+c^3}$$$$\implies(a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)\quad\checkmark$$
Es handelt sich also um eine abelsche Gruppe.
