Bestimmen Sie die Urbilder von w3 und w4.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Urbilder von w3 und w4.

Problem/Ansatz:

\( \omega_{3}=\left(\begin{array}{c}3 \\ -1 \\ 7\end{array}\right) ; \quad \omega_{4}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \)

Ich soll davon die Urbilder bestimmen jedoch finde ich überall nur Beispiele wo Urbilder von Mengen bestimmt wird und deswegen weiß ich nicht wie ich vorgehen soll.

Comments

Wie lautet denn die Abbildungsvorschrift, deren Ergebnis die Vektoren \(\vec w_3\) und \(\vec w_4\) sind? Ohne diese können wir ja nicht berechnen, wie die Eingangsvektoren der Abbildung sein müssen.

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Eine lineare Abbildung L die v1 auf w1 und v2 auf w2 abbildet.

V1= 3     ;  v2= 4  ;  w1= 1   ;  w2= -1

      2               3              0               1

                                       4                1

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Daraus habe ich schon die Matrix gebildet:

 5     -7

-2     3

10  -13

Answer 1

Aloha :)

Die Abbildung kann durch die Matrix \(A\) beschrieben werden:$$A=\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)$$

Nun sollst du die Urbilder der beiden Vektoren$$\vec w_3=\begin{pmatrix}3\\-1\\7\end{pmatrix}\quad\text{und}\quad\vec w_4=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$bestimmen, d.h. du suchst zwei 2-dim. Vektoren mit der Eigenschaft:

$$\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)\binom{x_3}{y_3}=\begin{pmatrix}3\\-1\\7\end{pmatrix}\quad\text{und}\quad\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)\binom{x_4}{y_4}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$

Das Problem ist hier, dass du jeweils 2 Unbekannte, aber 3 Bestimmungsgleichungen hast. Das kann schiefgehen. Das heißt, es kann sein, dass es keine Lösung gibt, die alle 3 Bestimmungsgleichungen zugleich erfüllt. In diesem Fall wäre dann der entsprechende Vektor \(\vec w_3\) oder \(\vec w_4\) nicht in der Bildmenge der Abbildung \(A\) enthalten.

Da wir also eine Gleichung zu viel haben, lassen wir zur Berechung einfach eine weg, bestimmen \(x\) und \(y\) mit den beiden anderen Gleichungen und prüfen am Ende, ob das Ergebnis dann auch die weggelassene Gleichung erfüllt.

$$\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\end{array}\right)\binom{x_3}{y_3}=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}\quad\text{und}\quad\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\end{array}\right)\binom{x_4}{y_4}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$$

Als Lösung für diese Gleichungssystem erhalten wir:

$$\binom{x_3}{y_3}=\binom{2}{1}\quad\text{und}\quad\binom{x_4}{y_4}=\binom{10}{7}$$

Wir prüfen nun nach, ob diese Lösungen auch die dritte Gleichung erfüllen:

$$\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)\binom{2}{1}=\begin{pmatrix}3\\-1\\7\end{pmatrix}\quad\text{und}\quad\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)\binom{10}{7}=\begin{pmatrix}1\\1\\9\end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$

Für den Vektor \(\vec w_3\) haben wir also das Urbild \(v_3=(2;1)\) gefunden. Für den Vektor \(\vec w_4\) gibt es kein Urbild \(\vec v_4\), d.h der Vektor \(\vec w_4\) ist nicht in der Bildmenge der Abbildung \(A\).