Hilfe beim kommutativen Ring.

Question

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Aufgabe 3
Zeigen Sie zunächst, dass für einen beliebigen Ring \( R \) die Einheiten \( R^{*} \) mit der Multip-
likation tatsächlich eine Gruppe bilden. Betrachten Sie anschließend
$$ \mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\{a+b \sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} $$
(H) a) Zeigen Sie, dass \( \mathbb{Z}[\sqrt{2}] \) ein kommutativer Ring mit Einselement ist.
(H) b) Bestimmen Sie \( \mathbb{Z}[\sqrt{2}]^{*} \), also die Einheitengruppe.

Dass das eine Gruppe bildet habe ich bereits gezeigt. Ich habe jedoch gar keinen Ansatz zu Aufgabenteil a und b. Hat da jemand einen Lösungsansatz?

Comments

Bei a) musst du alle Axiome eines Rings zeigen, dann zeigen, dass dieser kommutativ ist und schließlich das Einselement in diesem Ring bestimmen.

Bei b) ist dann gefragt, welche Elemente ein multiplikatives Inverses haben. Nimm dazu ein allgemeines Element dieses Ringes und überlege dir, wie das multiplikative Inverse aussehen müsste und welche dieser multiplikativen Inversen Elemente im Ring liegen. Die Elementen, die ein multiplikatives Inverses im Ring haben, sind Elemente der Einheitengruppe.