Zeigen Sie dass f mindestens eine nullstelle hat

Question

Aufgabe:

Sei f:ℝ→ℝ gegeben durch

f(x):= exp(x)+ x·exp(-x). Zeigen Sie dass f mindestens eine nullstelle hat

f(x)= exp(x)+x exp(-x)

Exp ist stetig f ist als Komposition stetiger Funktionen stetig

f(o)= exp(0)+0 exp(0)=1>0

f(2)= exp (-2)+(-2) exp(2)=14.64

Da polynom stetig sind, gilt nach dem ZWS, dass es eine Nullstelle zwischen-2 und 0 gibt.

Geht das so?

Comments

Nein, so geht das nicht. Schon die Begründung der Stetigkeit stimmt so nicht. Die Zeile "f(2)= exp (-2)+(-2) exp(2)=14.64" ist Unsinn.

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Und wie funktioniert es?:(

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Kann ich f(2) und exp(0) anwenden?

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Ich nehme an, du möchtest f(0) und f(2) vergleichen. Das könnte funktionieren, setzt aber voraus, dass du richtig rechnest.

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Also ist meine Lösung richtig?

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Nein, deine Lösung ist nicht richtig.

Answer 1

f(x) = e^x + x·e^(-x)

lim (x → -∞) f(x) = -∞

lim (x → ∞) f(x) = ∞

Da die Funktion auf ganz R stetig ist, muss es aufgrund des Verhaltens im Unendlichen mind. eine Nullstelle geben.

f(-1) = e^(-1) + (-1)·e^(1) = 1/e - e = -2.350

f(0) = e^0 + 0·e^(0) = 1

Auch hier sieht man, dass im Intervall [-1 ; 0] mind eine Nullstelle liegen muss.