Lineare Abbildung Drehung durch die Matrix A1

Question

Aufgabe:

Das graue Rechteck wird gedreht, so dass jeweils ein weißes Rechteck entsteht. Geben sie die Zugehörige (2,2)-Matrix A1 an, die die Liberale Abbildung beschreibt.

Das Rechteck hat die Eckpunkte:

P1(-1|0) , P2(2|0) , P3(2|2) , P4(-1|2)

Das neue Rechteck ist um 45 grad im Uhrzeigersinn gedreht. Ich muss höchstwahrscheinlich hier mit der drehmatrix an die Aufgabe dran, jedoch fehlt mir jeglicher Ansatz.

Hoffe Ihr habt ein paar Tipps für mich. Vielen Dank.

Comments

Hallo

was ist bei euch eine "  Liberale Abbildung"? offensichtlich hast du eine Drehung  um 0 und eine Verschiebung, wenn du erst drehst z.B, nur eine der Seiten bzw. Punkte kannst du die Verschiebung dann ablesen

sind ein oder mehrere Bildpunkte gegeben? denn die sind ja schwer genau abzulesen

lul

---

Lineare Abbildung ist im Skript folgendermaßen definiert  f : IR -> IR hat die gestallt f(x) = a * x mit einer reellen Zahl a .

Das Bild zuvor sieht so aus

Hier gilt eine Spiegelung durch die matrix A

Answer 1

Hallo,

Das neue Rechteck ist um 45 grad im Uhrzeigersinn gedreht.

Nicht in der Zeichnung oben! Es scheint vielmehr um \(135°\) gegen den Uhrzeigersinn gedreht zu sein. Allgemein ist die Rotationsmatrix \(R\) bei einer Drehung um \(\varphi\) im 2-dimensionalen:$$R = \begin{pmatrix} \cos(\varphi)& -\sin(\varphi)\\ \sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{pmatrix}$$Also hier, bei \(\varphi = 135° = \frac 34 \pi\): $$R = \begin{pmatrix} -\frac 12 \sqrt 2 & -\frac 12 \sqrt 2 \\ \frac 12 \sqrt 2& - \frac 12 \sqrt 2 \end{pmatrix}$$Ich bekomme folgende Koordinaten für das gedrehte Rechteck:$$P_{1..4}' \approx \begin{pmatrix}0,707& -1,414& -2,828& -0,707\\ -0,707& 1,414& 0,000& -2,121\end{pmatrix}$$In Deiner Zeichnung sind die Rechtecke wohl etwas nach oben links verrutscht.

Gruß Werner

PS.: ein Tipp: bei linearen Abbildungen wird der Ursprung immer wieder auf den Ursprung abgebildet! Also ist es bei Rotationen immer eine Rotation um den Ursprung.

Comments

Es ist interessant, weil ich zunächst gedacht habe die Drehung würde sich auf 45 grad im Uhrzeigersinn belaufen. Aber da haben die Werte dann nicht mehr mit den Punkten des neuen Rechtecks gepasst.

Also das Rechteck erst in die Vertikale Position gegen den Uhrzeigersinn mit +90grad und dann +45grad.

Vielen Dank euch!

---

Es ist interessant, weil ich zunächst gedacht habe die Drehung würde sich auf 45 grad im Uhrzeigersinn belaufen.

Wenn es so wäre, würde sich ein erheblicher Teil des Rechtecks noch im 1.Quadranten befinden - oder?

---

Ja und das sollte es gerade nicht.