Zeigen Sie, dass es ein x∈ [0,1 − 1/n] gibt mit f(x) = (x + 1/n)

Question

Aufgabe:

Sei∶ [0,1] → ℝ stetig mit f(0) = f(1) und n∈ ℕ≥1. Zeigen Sie, dass es ein x∈ [0,1 − 1/n] gibt mit f(x) = (x + 1/n)

Ich weiss nur das ich eine Hilfsfunktion konstruieren muss. Ich weiss aber gar nicht wie ich das machen soll. Sollte ich g(x)= f(x)+1/n betrachten.

Comments

Hallo

irgendwas ist an deiner Behauptung falsch: f(x)=x+1/n gilt sicher nicht für die stetige Funktion f(x)=0

Bitte Aufgaben sorgfältiger lesen und posten.

lul

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Das ist leider so wie in der Aufgabenstellung ich soll zeigen das es ein x aus (0,1 -1/n) gibt mit f(x)= f(x+1/n)

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Das hatte ich vermutet, aber dein erster post sagt ja was anderes!

du kannst g(x)=f(x)-f(x+1/n) betrachten.

Gruß lul

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Als Polynom ist f stetig, g ist stetig als Verkettung der Stetigen Funktionen. Insbesondere ist also g stetig. Es gilt: g(0)= 1/n- (f(1/n)=1/n>0, wobei wir verwenden dass 1/n>0. Der ZWS besagt, dass es somit ein x gibt mit f(x)=(x+1/n)

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Kannst du mir bitte helfennn:(((

Answer 1

Einige Bemerkungen:

1. Du hast was von einem Polynom \( f \) geschrieben. Ist das eine Vorgabe, dass \( f \) ein Polynom ist? Ich glaube nicht.

2. Du hast geschrieben, Du sollst zeigen das ein \( x \in \left(0 ,1 -\frac{1}{n} \right) \) geben soll mit \( f(x) = f\left(x + \frac{1}{n} \right) \). Ich denke Du meinst \( x \in \left[0 ,1 -\frac{1}{n} \right] \), richtig?

3. Wieso soll gelten \( g(0)= 1/n- f(1/n)=1/n \) ?

Gehe stattdessen wie folgt vor:

a) Definiere \( g \ : \ [0,1-1/n] \to \mathbb{R} \) als \( g(x)=f(x)-f(x+1/n) \)

b) Berechne die Summe \( \sum_{k=0}^{n-1} g\left( \frac{k}{n} \right) \) und beweise das diese Summe Null ist.

c) Schliesse daraus, dass es Werte \( k_1, k_2 \in \mathbb{N} \) geben muss, mit \( 0 \le k_1, k_2 \le n-1 \) und \( g\left( \frac{k_1}{n} \right) \le 0 \) und \( g\left( \frac{k_2}{n} \right) \ge 0 \)

d) Schliesse daraus, das es eine Wert \( x \in [0, 1-1/n] \) gibt, mit \( g(x) = 0 \), also \( f(x) = f(x+1/n) \)