Basiswechselmatrix mit Standartbasis

Question

Aufgabe:

Ich habe die Standardbasis B₁ = { \(\vec{e} \)₁ ,\( \vec{e} \)₂ ,\( \vec{e} \)₃} und B₂={\(\vec{v} \)₁ ,\( \vec{v} \)₂ ,\( \vec{v} \)₃} mit \(\vec{v} \)₁ = \( \begin{pmatrix} 2\\0\\-2 \end{pmatrix} \), \(\vec{v} \)₂ = \( \begin{pmatrix} 4\\2\\-2 \end{pmatrix} \), \(\vec{v} \)₃ = \( \begin{pmatrix} -2\\1\\4 \end{pmatrix} \)

sowie die lineare Abbildung f: ℝ³→ℝ³ 

f\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} 2\\0\\-2 \end{pmatrix} \), f\( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} -4\\-2\\2 \end{pmatrix} \), f\( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} -2\\1\\4 \end{pmatrix} \)

gegeben und soll die

Basiswechselmatrix T_B2,B1 = id_B2,B1 von B₂ nach B₁ sowie die

Basiswechselmatrix T_B1,B2= id_B1,B2 von B₁ nach B₂  berechnen.

Ich habe leider keine Ahnung wie ich da Anfangen soll. Ich vermute, dass ich das mit B₂^-1 ο f^-1 ο B₁^-1 und im zweiten Fall mit B₁ ο f ο B₂ machen muss aber ich weiß nicht wie das überhaupt geht.

Kann mir da bitte jemand helfen?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Für die Basiswechselmatrizen benötigst du die lineare Abbildung \(f\) nicht. Ich vermute, die Aufgabe besteht aus mehreren Teilen und du benötigst zunächst in einer Teilaufgabe die Basiswechselmatrizen.

Da alle Vektoren in \(B_2\) mit Koordinaten bzgl. der Standardbasis \(B_1\) angegeben sind:

$$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_{B_2}=\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}_{B_1}\quad;\quad\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_{B_2}=\begin{pmatrix}4\\2\\-2\end{pmatrix}_{B_1}\quad;\quad\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_{B_2}=\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix}_{B_1}$$

kannst du die Basiswechselmatrix von \(B_2\) zu \(B_1\) sofort hinschreiben:

$${_{B1}}\mathbf{id}_{B2}=\left(\begin{array}{rrr}2 & 4 & -2\\0 & 2 & 1\\-2 & -2 & 4\end{array}\right)$$

Die Basiswechselmatrix in die andere Richtung, also von \(B_1\) zu \(B_2\) ist die Inverse:

$${_{B2}}\mathbf{id}_{B1}=\left({_{B1}}\mathbf{id}_{B2}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}2 & 4 & -2\\0 & 2 & 1\\-2 & -2 & 4\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}\frac{5}{2} & -3 & 2\\[0.5ex]-\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2}\\[0.5ex]1 & -1 & 1\end{array}\right)$$

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