Zeigen Sie, dass die Gleichung exp(-x2)=x genau eine Lösung x ∈ ℝ bestizt

Question

Zeigen Sie, dass die Gleichung

$\exp \left(-x^{2}\right)=x$

genau eine Lösung $x \in \mathbb{R}$ besitzt. Sie können hierzu folgendermaßen vorgehen:

a) Zeigen Sie mit Hilfe einer Abschätzung für die linke und die rechte Seite, dass die Gleichung keine Lösung $x$ mit $x<0$ besitzt.

b) Zeigen Sie, dass die Gleichung keine Lösung $x$ mit $x>1$ besitzt.

c) Zeigen Sie, dass die Gleichung mindestens eine Lösung im Intervall [0,1] besitzt.

d) Zeigen Sie mit Hilfe der Monotonieeigenschaften der linken und der rechten Seite, dass die Gleichung keine weitere Lösung im Intervall [0,1] besitzt.

Answer 1

a) Zeigen Sie mit Hilfe einer Abschätzung für die linke und die rechte Seite, dass die Gleichung keine Lösung $x$ mit $x<0$ besitzt.

  Es ist exp(-x²) immer >0 und in diesem Fall x<0, also keine Lösung für x<0.

b) Zeigen Sie, dass die Gleichung keine Lösung $x$ mit $x>1$ besitzt.

             Für x>1 ist -x² < -1 also exp(-x²) < exp(-1) = 1/e < 1 .

Wegen x>1 also keine Lösung möglich.

c) Zeigen Sie, dass die Gleichung mindestens eine Lösung im Intervall [0,1] besitzt.

      Betrachte f(x)  =  exp(-x²) - x . Dann ist f(0) = 1 > 0  und f(1) = exp(-1) - 1 < 0

Da f stetig ist, gibt es zwischen 0 und 1 mindestens eine Nullstelle, also eine

Lösung der gegeb. Gleichung.
d) Zeigen Sie mit Hilfe der Monotonieeigenschaften der linken und der rechten Seite, dass die Gleichung keine weitere Lösung im Intervall [0,1] besitzt.

Es hat die Abl. von exp(-x²) den Term -2x*exp(-x²) , ist also

für x>0 negativ. ==>   exp(-x²) ist monoton fallend. und

die Funktion zu g(x)=x ist streng monoton steigend, also kann es keine

zwei Schnittpunkte der Graphen für x>0 geben, also hat die Gleichung

genau eine Lösung.