Aloha :)
zu 1) Hier ist ja nicht viel zu lösen. Wir haben 3 Variablen aber nur 1 Gleichung. Das heißt, wir können 2 der Variablen völlig frei wählen (man spricht von 2 sog. Freiheitsgraden) und nur die dritte ist dann durch die Gleichung eindeutig bestimmt. Wir erwarten also ein 2-dimensionales Objekt, eine Ebene. Formal kannst du das so schreiben:$$x-y+2z=3\quad\Longleftrightarrow\quad x=3+y-2z$$Die Lösungsvektoren sind daher:
$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+y-2z\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$$
Das ist die erwartete Ebenengleichung in Parameterform.
zu 2) Hier haben wir 2 Gleichungen für 3 Variablen. Wir erwarten daher, dass wir einen Freiheitsgrad haben, also eine Variable völlig frei wählen dürfen und die beiden anderen Variablen dann über die beiden Gleichungen eindeutig bestimmt sind. Mit anderen Worten, wir erwarten ein 1-dimensionales Objekt, eine Gerade.
$$\begin{array}{rrr|c|l} x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline1 & -1 & 2 & 3 & \\1 & 1 & 4 & 7 &-\text{Zeile 1}\\\hline1 & -1 & 2 & 3 & \\0 & 2 & 2 & 4 & :2\\\hline1 & -1 & 2 & 3 & +\text{Zeile 2}\\0 & 1 & 1 & 2 & \\\hline1 & 0 & 3 & 5 &\\0 & 1 & 1 & 2 & \\\hline\hline\end{array}$$Wir lesen daraus folgende Gleichungen ab:$$x+3z=5\quad\Longleftrightarrow\quad x=5-3z$$$$y+z=2\quad\Longleftrightarrow\quad y=2-z$$Damit können wir wieder alle Lösungen angeben:
$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5-3z\\2-z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-3\\-1\\1\end{pmatrix}$$und erhalten, wie erwartet, eine Gerade in Parameterform.
zu 3) Hier haben wie 3 Gleichungen für 3 Variablen. Daher erwarten wir keinen Freiheitsgrad, also ein 0-dimensionales Objekt als Ergebnis, einen Punkt. Dazu musst du das LGS lösen.
$$\begin{array}{rrr|c|l} x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline1 & -1 & 2 & 3 & \\2 & -1 & 5 & 8 & -2\cdot\text{Zeile 1} \\1 & 1 & 4 & 7 & -\text{Zeile 1} \\\hline1 & -1 & 2 & 3 & +\text{Zeile 2}\\0 & 1 & 1 & 2 & \\0 & 2 & 2 & 4 & -2\cdot\text{Zeile 2}\\\hline1 & 0 & 3 & 5 & \\0 & 1 & 1 & 2 & \\0 & 0 & 0 & 0 & \\\hline\hline\end{array}$$Aha, hier wollte der Aufgabensteller lustig sein und hat uns eine Gleichung angegeben, die von den anderen beiden abhängig war. Am Ende haben wir daher eine Nullzeile und es bleiben nur 2 Bestimmungsgleichungen übrig. Das liefert uns einen Freiheitsgrad, also kommt kein Punkt, sondern eine Gerade raus. Wir sehen, dass die Gleichungen dieselben sind wie bei 2), also kommt auch hier dieselbe Gerade als Lösung heraus:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-3\\-1\\1\end{pmatrix}$$
