Zeigen Sie, dass für jede komplexe Zahl z ∈ C gilt: e^z = lim(1+z/n)^n

Question

Zeigen Sie, dass für jede komplexe Zahl \( z \in \mathbb{C} \) gilt:
$$ e^{z}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^{n} $$

Answer 1

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl

Nach der ersten Definition in der Wikipedia gilt

e = lim (1 + 1/n)^n              ,n gegen unendlich (im Folgenden immer n gegen unendlich)

lim (1 + z/n) ^ n

= lim (1+ 1/(n/z))^ n
=lim(1+1/(n/z))^ ((n/z)*z)

=lim((1+1/(n/z))^ (n/z) ) ^z)

Da z fest ist und n gegen unendlich geht, geht die Klammer gegen e, und der ganze Grenzwert ist dann e^z

Comments

Du potenzierst hier mit komplexen Zahlen. Wie ist das denn definiert?

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Guter Einwand.

e^{a+ib} = e^ a * e^{ib}
Wobei der zweite Teil nur Zahlen auf dem Einheitskreis ergibt und somit beschränkt ist.
Sollte eigentlich genügen. Aber klar! Rechne das noch nach! Alternative: Rechne mit einer andern Definition von e.