Aloha :)
Da du hier nur Aufgabenteil a) nachfragst, vermute ich, dass da noch andere Aufgabenteile kommen. Damit du diese bearbeiten kannst, mache ich Teil a) sehr ausführlich. Da sollte dann auch alles für die anderen Aufgabenteile dabei sein...
Die Abbildung \(f\) wollen wir durch eine Matrix \(F\) bestimmen. Wir kennen zwei Funktionserte:
$$\binom{1}{0}_{B1}=\binom{x+3}{1}\binom{1}{0}=x+3\to-2x+1=\binom{-2x+1}{x+2}\binom{1}{0}=\binom{1}{0}_{B2}$$$$\binom{0}{1}_{B1}=\binom{x+3}{1}\binom{0}{1}=1\to x+2=\binom{-2x+1}{x+2}\binom{0}{1}=\binom{0}{1}_{B2}$$
Die Abbildungsmatrix \(F\), die als Eingang Vektoren bzgl. der Basis \(B1\) erwartet und Vektoren bzgl. der Basis \(B2\) liefert, lautet daher:$${_{B2}}F_{B1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$$
Daraus können wir die Abbildungsmatrix \({_E}F_E\) berechnen, die als Eingang Vektoren bzgl. der Standardbasis \(E\) erwartet und Vektoren bzgl. der Standardbasis \(E\) liefert:$${_E}F_E={_E}\operatorname{id}_{B2}\cdot{_{B2}}F_{B1}\cdot{_{B1}}\operatorname{id}_E$$Die dazu nötigen Transformationsmatrizen lauten:
$$\binom{1}{0}_{B1}=\binom{x+3}{1}\binom{1}{0}=x+3=\binom{1}{x}\binom{3}{1}=\binom{3}{1}_E$$$$\binom{0}{1}_{B1}=\binom{x+3}{1}\binom{0}{1}=1=\binom{1}{x}\binom{1}{0}=\binom{1}{0}_E$$$$\implies {_E}\operatorname{id}_{B1}=\begin{pmatrix}3 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$$$$\implies {_{B1}}\operatorname{id}_E=\left({_E}\operatorname{id}_{B1}\right)^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & -3\end{pmatrix}$$
$$\binom{1}{0}_{B2}=\binom{-2x+1}{x+2}\binom{1}{0}=-2x+1=\binom{1}{x}\binom{1}{-2}=\binom{1}{-2}_E$$$$\binom{0}{1}_{B2}=\binom{-2x+1}{x+2}\binom{0}{1}=x+2=\binom{1}{x}\binom{2}{1}=\binom{2}{1}_E$$$$\implies {_E}\operatorname{id}_{B2}=\begin{pmatrix}1 & 2\\-2 & 1\end{pmatrix}$$
Damit haben wir alle Matratzen zusammen:$${_E}F_E=\begin{pmatrix}1 & 2\\-2 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -5\\1 & -5\end{pmatrix}$$
und können nun \(f(2x)\) bestimmen:
$$f(2x)=\begin{pmatrix}2 & -5\\-1 & 5\end{pmatrix}\binom{0}{2}_E=\binom{-10}{-10}_E=\binom{1}{x}\binom{-10}{-10}=-10x-10$$$$\implies f(2x)=-10x-10$$
