Berechnen Sie mit dem Potenzreihnansatz die ersten 5 Koeffizienten der Potenzreihe.

Question

Aufgabe:

Folgendes Anfangswertproblem :


DGL : y''= 6y' + 12xy mit y(0) = 3, y'(0) = -1.


Berechnen Sie mit dem Potenzreihnansatz die ersten 5 Koeffizienten der Potenzreihe.

Problem/Ansatz:

Durch das einsetzen von 0 in den Ansatz und das einmalige Ableiten des Ansatzes bekomme ich die Koeffzienten a_0 und a_1.


Als nächstes leite ich den Ansatz ein zweites mal ab, und betrachte alle Koeffizienten ohne x bzw. x^0.


Somit bleibt aus der DGL nur y''=6y' und ich setze die jeweiligen koeffzienten des Ansatzes ein für x = 0 in diesem Fall.


Und so gehe ich weiter, aber leider bekomme ich nicht das richtige Ergebnis raus.


Hier meine Ergebnisse:

a_0 = 3

a_1 = -1

a_2 = -3

a_3 = -8

a_4 = -12

Vielen dank im voraus.

Answer 1

Hallo, deine Koeffizienten \(a_0,a_1,a_2\) sind richtig, aber danach stimmt es nicht mehr. Mache einen Koeffizientenvergleich und stelle so eine Rekursionsgleichung auf, um so die weiteren benötigten Koeffizienten zu erhalten.

Comments

Hallo @ hallo97, danke für deine Antwort.

Also, ich habe es nun mit der Koeffizientenfunktion p(x) und q(x) versucht.

dabei habe ich für:

p₀ = 6; p_n = 0 (für alle n ≥ 1 = 0)

und für

q₀ = 0; q₁ = 12; q_n = 0 (für alle n ≥ 2 = 0)

a_n+2 bis a₄ mit der Rekursionsgleichung aufgestellt.

leider nicht das richtige Ergebnis.

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Wie sieht denn deine Rekursionsgleichung aus?

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\( \frac{-1}{(n+1)(n+2)} \sum\limits_{k=0}^{n} \)  [ p_k •(n+1-k)•a_k+1-k + q_k • a_n-k ] 

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Das sieht mir aber nicht so ganz danach aus. Was sind denn \(p_k,q_k\) ?

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p(x) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \)p_nxⁿ für 6y' DGL

q(x) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \)q_nxⁿ für 12xy aus der DGL

p₀ = 6; p_n =0 (n ≥ 1)

q₀ = 0; q₁ = 12 q_n = 0 (n ≥ 2)

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Das führt in die falsche Richtung. Mache stattdessen folgendes:

\(f(x):=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\cdot x^k\\[10pt] f'(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)\cdot a_{k+1}\cdot x^k\\[10pt] f''(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)\cdot (k+2)\cdot a_{k+2}\cdot x^k\). Jetzt setze es in die DGL ein und mache ggf Indexverschiebungen, um dann eine Rekursionsformel zu bekommen.

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sorry, ich bin total verwirrt.

f(x) bis f''(x) einfach in meine dgl einsetzen und a₀ bis a₅ bestimmen?

oder gilt immer noch dass a0 und a1 gleich y(0) und y'(0) sind?

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f(x) bis f''(x) einfach in meine dgl einsetzen und a0 bis a5 bestimmen?

Ja. Was bereitet dir da Probleme?

oder gilt immer noch dass a0 und a1 gleich y(0) und y'(0) sind?

Genau.

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VIELEN DANK :)

etwas spät aber hat alles geklappt!

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Cool, das freut mich. :-)