Begründen Sie, dass P(Xn=k) = (2·(k−1)+1)/(n^2) gilt.

Question

Aufgabe:

Es werden zufällig (gleichverteilt) und unabhängig voneinander zwei Zahlena,b∈ {1,...,n},n∈N≥1 gezogen, sprich a=b ist möglich. Darauf basierend sei die Zufallsvariable Xn=max(a,b) definiert, wobei die Funktion max wie folgt definiert ist:max(a,b) ={a falls a≥b ,b falls a < b.

a) Begründen Sie, dass P(Xn=k) = (2·(k−1)+1)/(n^2) gilt.

b) Zeigen Sie, dass E(Xn) = ((n+ 1)(2n+ 1)/3n) − (n+ 1)/(2n) gilt, und berechnen Sie den Erwartungswert E(X10). Hinweis: Es gilt ,

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{ k=n(n+ 1)2} \) ,

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{ k^2=(n(n+ 1)(2n+ 1))/6} \) .

c)Berechnen Sie die Varianz V(X10).

d)Schätzen Sie die untere Schranke von P(X1000>100) mittels der Ungleichung von Tschebyscheff ab. Es gilt V(X1000)≈55.555,5278

Answer 1

a) Begründen Sie, dass P(Xn=k) = (2·(k−1)+1)/(n2) gilt.

Du hast 3 Möglichkeiten.

P(a = b = k) = 1/n * 1/n
P(a = k und b < k) = 1/n * (k - 1)/n
P(a < k und b = k) = (k - 1)/n * 1/n

P(X = k) = 1/n * 1/n + 1/n * (k - 1)/n + (k - 1)/n * 1/n = (2·(k - 1) + 1)/n^2