Integralrechnung - Rotationskörper

Question

Aufgabe:

Gesucht ist das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Randkurve f(x) = x^2 + 1 über
dem Intervall [1; 2] entsteht. Eine Skizze wäre wünschenswert.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe diese Aufgabe nicht, kann mir bitte jemand diese Aufgabe erklären, mit einem Lösungsweg!

Vielen Dank!

P.S. das Thema ist Integralrechnung - Rotationskörper

Comments

Versuche doch die Lösung der letzten Aufgabe zu übertragen

oder beschreibe was dich daran hindert.

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Leider wurde nicht gesagt, um welche Achse die Fläche rotieren soll.

Bei meiner Antwort habe ich mich für die X-Achse entschieden.

Answer 1

Gesucht ist das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Randkurve \(f(x) = x^2 + 1\) über
dem Intervall [1; 2] entsteht. Eine Skizze wäre wünschenswert.

$$V= \int\limits_{1}^{2} π(x^4+2x^2+1)dx$$

$$V=π(1/5x^5+2/3x^3+x) |_1^2$$

$$V=π((6,4+16/3+2)-(0,2+2/3+1))$$

$$V=π(11,2+2/3)≈37,280 VE$$

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Vielen Dank!

Answer 2

Durch die Rotation des Parabelstücks, welches die Punkte A(1|2) und B(2|5) verbindet, entsteht zunächst gar kein Körper, sondern ein Ausschnitt einer Rotationsfläche, welcher einem aus einem Trompetentrichter ausgeschnittenen Blech-Ring gleicht.

Erst wenn man das gesamte Gebiet zwischen dem Parabelbogen, der x-Achse und den Begrenzungsgeraden x=1 und x=2 um die x-Achse dreht, entsteht der besagte Rotationskörper (im Bild füllen wir dabei den Trompeten-Trichter-Ring z.B. mit Metall aus).

Für die Berechnung des Volumens dieses Körpers gilt nun einfach die (dir wohl bekannte) Formel:

V = π · \( \int\limits_{1}^{2} (f(x))^2  dx         \)

Comments

Trompetentrichter:

https://www.desmos.com/calculator/vayyhrej88

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Danke für die Illustration. Für den Rotations-Körper muss man nun aber diesen "Blech-Ring" zu einem konvexen 3D-Körper ausfüllen.

Die Rotationsfläche allein hätte natürlich das Volumen null.

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Klar, es geht ja um das Rotationsvolumen.

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Der Fehler steckte in der Aufgabenformulierung: durch Rotation der Randkurve allein entsteht eben nur die Randfläche.

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"der Fläche unter" stand da weiß auf weiß, das konnte  man leider leicht übersehen.

Das wurde vermutlich nicht schwarz geschrieben, damit wir die Rotation um die X-Achse vornehme.

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Was ich als Aufgabenstellung gesehen hatte, war nur das:

Gesucht ist das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Randkurve
f(x) = x² + 1 über dem Intervall [1; 2] entsteht.