Darf man den Limes ändern, um L'Hospital anweden zu können?

Question

Meine Funktion strebt gegen die Zahl 3:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 3}\left(\frac{6 x+36}{x^{2}-9}\right) \)

L'Hospital könnte ich (soweit ich weiß) nicht anwenden. Wenn ich die Funktion nun aber gegen unendlich laufen lasse, hätte ich eine ∞/∞-Situation und könnte deshalb den Nenner und Zähler ableiten:

\( \lim \limits_{x \rightarrow ∞}\left(\frac{6}{2x}\right) \)

Wenn ich nun wieder für den Limes die 3 einsetze, wäre das Ergebnis 1. Ist dies möglich oder brauche ich einen anderen Lösungsweg (weil das ganze gar keinen Sinn ergibt)? Wie wäre es sonst möglich? Meine originelle Funktion sah so aus:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 3}\left( \frac{x+3}{x-3}-\frac{x^{2}+27}{x^{2}-9} \right)\)

Answer 1

Text erkannt:

\( \frac{x+3}{x-3}-\frac{x^{2}+27}{x^{2}-9}= \)
\( =\frac{(x+3)(x+3)}{(x-3)(x+3)}-\frac{x^{2}+27}{x^{2}-9}= \)
\( =\frac{x^{2}+6 x+9-x^{2}-27}{x^{2}-9}= \)
\( =\frac{6 x-18}{x^{2}-9}=\frac{6 \cdot(x-3)}{(x+3) \cdot(x-3)}=\frac{6}{x+3} \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow 3} \frac{6}{x+3}=1 \)

mfG

Moliets

Comments

Der letzte Schritt macht viel mehr Sinn als meine Idee, vielen Dank!