L'Hospital anweden bei nicht offensichtlicher Form

Question

Aufgabe:

L'Hospital

Bestimmen Sie \( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \sqrt[3]{x^3+x^2} \) - x

Problem/Ansatz:

Den Satz von L'Hospital kann ich ja anweden, wenn ich beim Einsetzen des Grenzwertes ein \( \frac{0}{0} \) oder \( \frac{\infty}{\infty} \) habe. Das ist in dieser Aufgabe aber nicht der Fall. Wie kann ich die Funktion umschreiben um zu einer solchen zu gelangen ohne es zu kompliziert zu machen?

Für jegliche Hilfe wäre ich dankbar! :)

Answer 1

das kannst Du so direkt nicht über L'Hospital berechnen.

Eine Möglichkeit : Multipliziere den Zähler und Nenner mit

((x^3 +x^2)^(1/3) +x) /((x^3 +x^2)^(1/3) +x)

Berechnung der Zählers über Binomische Formeln, dann vereinfachen

ausklammern usw.

Ergebnis: 1/3

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ein anderer Weg:

Comments

$$\frac{(\sqrt[3]{x^3+x^2}-x) * (\sqrt[3]{x^3+x^2}+x)}{(\sqrt[3]{x^3+x^2}+x)} = \frac{\sqrt[3]{x^3+x^2}^2 - x^2}{(\sqrt[3]{x^3+x^2}+x)} = \frac{\sqrt[1.5]{x^3+x^2} - x^2}{(\sqrt[3]{x^3+x^2}+x)}$$

So weit so richtig? Und was wäre der nächste Schritt zum Vereinfachen?

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ich habe einen anderen Weg gewählt , siehe oben.

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Danke dir, das sieht doch gut aus und ich konnte alles nachvollziehen!

Answer 2

Erinnere dich an

(a - b)·(a^2 + a·b + b^2) = a^3 - b^3

Erweitere also Zähler und Nenner eventuell mit

(a^2 + a·b + b^2)

Ich denke das sollte dich zum Ziel führen.

(((x^3 + x^2)^(1/3))^3 - x^3) / (((x^3 + x^2)^(1/3))^2 + (x^3 + x^2)^(1/3)·x + x^2)

= (x^2) / ((x^3 + x^2)^(2/3) + (x^3 + x^2)^(1/3)·x + x^2)

Comments

Wie löse ich das weiter auf? Ich habe Probleme damit die Klammern aufzulösen, da die ja eine Potenz haben

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Schau mal ob du nicht einfach ein x^2 im Nenner ausklammern kannst. Das ist doch die Normale vorgehensweise.

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Auf das hier komme ich dann:
$$\frac{x^2}{(x^3+x^2)^{2/3} + (x^3+x^2)^{1/3}*x+x^2} = \frac{x^2}{x^2*(1+1/x)^{2/3} + x^2*(1+1/x)^{1/3}+x^2} = \frac{1}{2+x+2/x}$$

Ist das so richtig?

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Oh, natürlich nicht, die Potenzen bleiben ja erhalten.. Dann bin ich aber weiterhin überfragt