Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von Vektor u1,u2 und u3.

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden Vektoren aus V := C^3

\( u^{(1)}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ i\end{array}\right), \quad u^{(2)}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 0\end{array}\right), \quad \) und \( u^{(3)}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 3 \\ 5\end{array}\right) \)

Wir betrachten \( V:=\mathbb{C}^{3} \) mit dem Standardskalarprodukt \( \langle x, y\rangle=x^{\top} \bar{y} \). Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis \( \mathcal{B}=\left(b^{(1)}, b^{(2)}, b^{(3)}\right) \) von \( U=\operatorname{lin}\left(u^{(1)}, u^{(2)}, u^{(3)}\right) \) mit dem Gram-Schmidt Verfahren also so, dass zusät zlich auch \( \operatorname{lin}\left(b^{(1)}, \ldots, b^{(i)}\right)=\operatorname{lin}\left(u^{(1)}, \ldots, u^{(i)}\right) \) für alle \( i=1, \ldots, 3 \) gilt.

Mein Problem:

Ich habe die Aufgabe jetzt schon oft genug bearbeitet. Und Wenn ich recht habe, dann müssten doch das Skalarprodukt von b(1) und b(2) gleich 0 sein. Das ist bei mir aber nicht der fall.

Kann mir da jemand helfen?

Die Aufgabe ist leider sehr viel Schreibarbeit.

Könnte mit jemand b(1) und b(2) ausrechnen? Dann kann ich mit meinen Vergleichen.

Das sind meine Ergebnisse:

\( \vec{b1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{27}}\\\frac{5}{\sqrt{27}}\\\frac{i}{\sqrt{27}} \end{pmatrix} \)

\( \vec{b2}=\begin{pmatrix} \frac{5\sqrt{6}}{18}\\\frac{\sqrt{6}}{9}\\\frac{5\sqrt{6}}{18}i \end{pmatrix} \)

\( \vec{b3}=\begin{pmatrix} -0,3711447382+0,5759142489i\\0,085332062947+0,4266031473i\\0,5759142489+0,09811872389i \end{pmatrix} \)

Answer 1

Aloha :)

Du hast dir hier das Leben selbst ein wenig ungemütlich gemacht. Wir haben hier zwei reelle Vektoren, lass uns doch mit denen anfangen. Wir normieren zunächst \(\vec u_2\) und haben damit schon mal den ersten Vektor unserer Orthonormalbasis:$$\vec n_1=\frac{1}{\|\vec u\|}\vec u_2=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$Den zweiten Vektor der Orthonormalbasis erhalten wir, indem wir \(\vec u_3\) auf \(\vec n_1\) projezieren. Dadurch erhalten wir zunächst den Anteil \(\vec u_3^\parallel\) von \(\vec u_3\), der parallel zu \(\vec n_1\) ist.

$$\vec u_3^\parallel=(\,\vec n_1\cdot\vec u_3\,)\cdot\vec n_1=\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\5\end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}$$Der Anteil \(\vec u_3^\perp=\vec u_3-\vec u_3^\parallel\) von \(\vec u_3\), der senkrecht zu \(\vec n_1\) steht, muss noch normiert werden:$$\vec n_2=\frac{1}{\|\vec u_3^\perp\|}\vec u_3^\perp=\frac{1}{\sqrt{26}}\begin{pmatrix}-1\\0\\5\end{pmatrix}$$

Jetzt lassen wir den komplexen Vektor \(\vec u_1\) mitspielen. Wir subtrahieren von ihm seine Projektionen auf \(\vec n_1\) und \(\vec n_2\), um den Vektor \(\vec u_1^\perp\) zu finden, der sowohl zu \(\vec n_1\) als auch zu \(\vec n_2\) orthogonal ist:

$$\vec u_1^\perp=\vec u_1-(\,\vec n_1\cdot\vec u_1\,)\cdot\vec n_1-(\,\vec n_2\cdot\vec u_1\,)\cdot\vec n_2$$$$\phantom{\vec u_1^\perp}=\begin{pmatrix}1\\5\\i\end{pmatrix}-\left(\,\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\5\\i\end{pmatrix}\,\right)\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\frac{1}{26}\left(\,\begin{pmatrix}-1\\0\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\5\\i\end{pmatrix}\,\right)\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\5\end{pmatrix}$$$$\phantom{\vec u_1^\perp}=\begin{pmatrix}1\\5\\i\end{pmatrix}-5\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\frac{1}{26}\left(-1+5i\right)\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\i\end{pmatrix}+\frac{1-5i}{26}\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\5\end{pmatrix}$$$$\phantom{\vec u_1^\perp}=\frac{1}{26}\left(\begin{pmatrix}26\\0\\26i\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1+5i\\0\\5-25i\end{pmatrix}\right)=\frac{1}{26}\begin{pmatrix}25+5i\\0\\5+i\end{pmatrix}$$Damit haben wir den letzten Vektor der Orthonormalbasis gefunden:

$$\vec n_3=\frac{1}{\|\vec u_1^\perp\|}\vec u_1^\perp=\frac{1}{\sqrt{\begin{pmatrix}25+5i\\0\\5+i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}25-5i\\0\\5-i\end{pmatrix}}}\begin{pmatrix}25+5i\\0\\5+i\end{pmatrix}$$$$\phantom{\vec n_3}=\frac{1}{\sqrt{(25+5i)(25-5i)+(5+i)(5-i)}}\begin{pmatrix}25+5i\\0\\5+i\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{676}}\begin{pmatrix}25+5i\\0\\5+i\end{pmatrix}$$$$\phantom{\vec n_3}=\frac{1}{26}\begin{pmatrix}25+5i\\0\\5+i\end{pmatrix}$$

Comments

Autsch. Da habe ich mir echt das Leben schwer gemacht, indem ich mit dem Komplexen Vektor angefangen habe.

Ich Danke dir Tschakabumba für deine Hilfe und deinen Aufwand!

Meine Rechnung ist ca. 5 mal so lang :D