Stetigkeit der Funktion ƒ : ℝ → ℝ,

Question

Hey! Ich habe bei dieser Aufgabe leider noch nicht einmal einen Ansatz, geschweige denn weiß ich wie ich das am Besten lösen könnte. Kann mir hierbei jemand helfen?

Untersuchen Sie die Funktion ƒ : ℝ → ℝ,

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin (2 \pi x)+3 & \text { für } x<1 \\ x^{3}-1 & \text { für } x \geq 1\end{array}\right. \)

auf Stetigkeit, d.h. untersuchen Sie in welchen Punkten ƒ stetig ist und in welchen Punkten ƒ unstetig ist.

Answer 1

Aloha :)

Für \(x<1\) ist \(f(x)=\sin(2\pi x)+3\) stetig, weil die Summe zweier stetiger Funktionen stetig ist. Für \(x>1\) ist \(f(x)=x^3-1\) auch stetig, weil jedes Polynom stetig ist. Die kritische Stelle ist hier \(x=1\), wo die linksseitige \(x<1\) und rechtsseitige \(x>1\) Funktion zusammentreffen. Wir überprüfen die Stetigkeit, indem wir den links- und rechtsseigen Grenzwert der Funktion an dieser Stelle bestimmen:

$$\lim\limits_{x\searrow1}f(x)=\lim\limits_{x\searrow1}(\sin(2\pi x)+3)=\sin(2\pi)+3=3$$$$\lim\limits_{x\nearrow1}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow1}(x^3-1)=1^3-1=0$$

Da der links- und rechtsseitige Grenzwert der Funktion an der Stelle \(x=1\) unterschiedlich sind, ist die Funktion nicht stetig. Sie macht einen "Sprung" bei \(x=1\).

~plot~ (sin(2*pi*x)+3)*(x<1) ; (x^3-1)*(x>=1) ; {1|3} ; {1|0} ; [[-2|2|0|5]] ~plot~

Comments

danke dir!
Du hast mich gerettet!

Für \(x<1\) ist \(f(x)=\sin(2\pi x)+3\) stetig, weil die Summe zweier stetiger Funktionen stetig ist.

Gibt es einen einfachen, schnellen Weg herauszufinden, ob Funktionen stetig sind, wie z.B eine Regel?

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Es gibt gewisse Regeln, etwa dass alle Polynome stetig sind oder dass eine Verkettung stetiger Funktionen wieder eine stetige Funktion ist oder dass Summe und Produkt von stetigen Funktionen wieder stetig sind.

Damit kann man recht schnell eine große Anzahl von Funktionen als stetig erkennen. Das trifft ja auch für die beiden Funktionen (linke und rechte Seite) hier in der Aufgabe zu. Wenn aber zwei verschiedene Funktionen aufeinandertreffen, wie hier bei \(x=1\), musst du immer prüfen, ob die Funktion dort tatsächlich stetig ist.