Zeigen Sie, dass alle Zahlen x_{n} gleich sind.

Question

Text erkannt:

a) An jedem ganzzahligen Punkt \( n \in \mathbb{Z} \) der Zahlengeraden steht eine natürliche Zahl \( x_{n} \in \mathbb{N} \). Jede Zahl \( x_{n} \) ist der Mittelwert ihrer beiden Nachbarn, d.h.
$$ x_{n}=\frac{x_{n-1}+x_{n+1}}{2} \quad \forall n \in \mathbb{Z} $$
Zeigen Sie, dass alle Zahlen \( x_{n} \) gleich sind.
b) An jedem Gitterpunkt \( (m, n) \in \mathbb{Z}^{2} \) der Ebene steht eine natürliche Zahl \( x_{m, n} \in \mathbb{N} \). Jede Zahl \( x_{m, n} \) ist das arithmetische Mittel ihrer vier Nachbarn, d.h.
$$ x_{m, n}=\frac{x_{m-1, n}+x_{m+1, n}+x_{m, n-1}+x_{m, n+1}}{4} \quad \forall m, n \in \mathbb{Z} . $$
Zeigen Sie, dass alle Zahlen \( x_{m, n} \) gleich sind.

Problem/Ansatz

Ich weiß nur, dass ich dort anscheinend einen Beweis durch Widerspruch machen soll, da die 0 keine natürliche Zahl ist. Kann mir da einer helfen ?

Answer 1

a)

\(x_{n}=\frac{x_{n-1}+x_{n+1}}{2} \quad \forall n \in \mathbb{Z} \\ x_{n+1}=2x_n-x_{n-1}\)

Sei \(x_n=x_{n-1}+d\),

dann ist \(x_{n+1}=x_{n}+d\).

Die x-Werte bilden also eine arithmetische Folge. Allerdings gibt es keinen Anfangswert, da die Indizes n ganze Zahlen sind.

\(x_{n}=x_{0}+n\cdot d\)

Zu einem gegebenen Wert von d ungleich Null gibt es Werte für n, sodass \(x_n\) negativ wird. Da alle x aber natürliche Zahlen sind, muss d=0, x also konstant sein.

:-)

Comments

Und Aufgabe b muss ich dann genauso machen ?