Zeigen Sie, dass \left|x_{n+1}-x_{n}\right|<\delta\left|x_{n}-x_{n-1}\right| für alle n>1 gilt.

Question

Aufgabe:

Es sei \( \varphi:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig differenzierbar und es gelte \( \left|\varphi^{\prime}(x)\right|<\delta<1 \) für alle \( x \in[a, b] \). Sei \( x_{1} \in[a, b] \) und ausgehend davon die Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) rekursiv definiert durch \( x_{n}=\varphi\left(x_{n-1}\right), n>1 \), und es gelte dabei \( x_{n} \in[a, b] \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).
1. Zeigen Sie, dass
\( \left|x_{n+1}-x_{n}\right|<\delta\left|x_{n}-x_{n-1}\right| \)
für alle \( n>1 \) gilt.
2. Man kann mit (1) zeigen, dass \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiert und mit A15 (Anhang Skript) folgt dann, dass \( c=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} \) folgende Gleichung erfüllt
\( \varphi(c)=c . \)

Problem/Ansatz:

Ist \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig, und auf \( (a, b) \) differenzierbar, \( f: X \rightarrow \mathbb{R} \) dann gibt es ein \( \xi \in[a, b] \), so dass
\( f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} . \)

Comments

Wenn Du beachtest, dass \(x_{n+1}=\phi(x_n)\) und \(x_m=\phi(x_{n-1})\), dann folgt doch aus dem von Dir zitierten Mittelwertsatz sofort die Aussage 1. Bei 2 sehe ich keinen Auftrag.

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Du hast das doch schon beinahe da stehen wenn du für xn+1 und xn  die Abbildung f verwendest. mit f'(ξ)<δ

Gruß lul