i) Ist \left\{(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} | x_{1} · x_{2} · x_{3}=0\right\} ein Untervektorraum von ℝ^{3}?

Question

Aufgabe:

i) Ist \( \left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}=0\right\} \) ein Untervektorraum von \( \mathbb{R}^{3} ? \)
ii) Bestimmen Sie ein Erzeugendpnsystem von \( H(a, 0) \) für \( a=(1,2,-1) \in \mathbb{R}^{3} \).

Comments

Wie ist H(a,0) definiert?

Answer 1

Zu (i):

Die Einheitsvektoren (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) liegen in der Menge,

aber wie sieht das mit ihrer Summe aus?

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ist auch drin (1;1;0) erfüllt x1 * x2 * x3 = 0

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Sorry, hatte mich verguckt ;-)

Answer 2

i) nein, es ist (0;1;-1) darin und (1;0;-1) aber die Summe (1;1;-2) nicht.

Keine Ahnung was das H bedeuten soll.

Comments

Lösung: Nein, da es für \( \mathbf{v} \) und \( \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{3} \) mit \( v_{1} \cdot v_{2} \cdot v_{3}=0 \) und \( w_{1} \cdot w_{2} \cdot w_{3}=0 \) noch keine Garantie gibt, dass \( \mathbf{v}+\mathbf{w} \) dieselbe Eigenschaft hat, das heisst, dass \( \left(v_{1}+w_{1}\right) \cdot\left(v_{2}+w_{2}\right) \cdot\left(v_{3}+w_{3}\right)=0 \) gilt. Man nehme zum Beispiel \( \mathbf{v}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \) und \( \mathbf{w}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) . \) Dann liegen \( \mathbf{v} \) und \( \mathbf{w} \) in der Menge, aber \( \mathbf{v}+\mathbf{w}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \), also \( \left(v_{1}+w_{1}\right) \cdot\left(v_{2}+w_{2}\right) \cdot\left(v_{3}+w_{3}\right)=1 \) und \( \mathbf{v}+\mathbf{w} \) liegt nicht in der Menge.

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kann man es so begrunden?