Aufgabe:
Zeigen oder widerlegen Sie:
Problem/Ansatz:
Hallo, ich habe die folgenden Aufgaben gelöst, aber wäre sehr dankbar, wenn da jemand drüber schauen könnte, um mich ggf. auf Fehler hinzuweisen.
Sei V ein K-Vektorraum. Zeigen oder widerlegen Sie: (i) Ein einzelner Vektor v ∈ V ist linear unabhängig genau dann, wenn v ̸= 0.
(ii) Sind v1, v2 ∈ V linear abhängig, so existiert v ∈ V mit v1, v2 ∈ ⟨v⟩.
(iii) Sind v1, v2, v3 ∈ V paarweise linear unabhängig, so auch v1, v2, v3.
(iv) Sind v1, v2 ∈ V und v2, v3 ∈ V linear abhängig, so auch v1, v3, falls v2 ̸= 0.
zu i):
Angenommen ein einzelner Vektor v ∈ V ist linear unabhängig, genau dann wenn v = 0, d.h:
0 = λ(v1). Doch wenn v = 0, kommt immer der Nullvektor heraus, unabhängig davon welchen Wert λ ∈ K hat, es kann also auch λ != 0 sein, was der Definition von linearer Unabhängigkeit widerspricht.
Die Aussage ist also wahr.
zu ii);
Angenommen v1, v2 ∈ V sind linear abhängig und es gilt für alle v ∈ V: v1,v2 ∉ <v>
Da v1, v2 linear abhängig sind, gibt es ein λ ∈ K mit v1 = λ(v2) (analog für v2), d.h v2 ∈ <v1> und offensichtlich ist v1 ∈ <v1>, also sind v1,v2 ∈ <v1>, was einen Widerspruch zur Annahme darstellt.
Die Aussage ist also auch wahr
zu iii):
Betrachten die logisch äquivalente Aussage: Seien v1, v2, v3 ∈ V linear abhängig, dann sind v1,v2,v3 paarweise linear abhängig.
Mit v1, v2, v3 linear abhängig folgt -> <v1> = <v2> = <v3> ⇒ <v1> = <v2> ⇒ v1,v2 sind linear abhängig
⇒ <v2> = <v3> ⇒ v2,v3 sind linear abhängig
⇒ <v1> = <v3> ⇒ v1,v3 sind linear abhängig.
Die Aussage ist also wahr.
zu iv):
Angenommen v1,v2 ∈ V und v2,v3 ∈ V sind linear abhängig und v1,v3 sind linear unabhängig dann gilt:
v1,v2 linear abhängig ⇒ <v1> = <v2>
v2,v3 linear abhängig ⇒ <v2> = <v3>
⇒ <v1> = <v3>, was einen Widerspruch zur Voraussetzung das v1 und v3 linear unabhängig sind.
Die Aussage ist also auch wahr.
