Polynomfunktionen Polynomdivision Hilfe

Question

Aufgabe

Aufgabe Gegeben ist die Funktion $f_{3}(x)=x^{4}-9 x^{3}+20 x^{2}+5 x-25$ Zeige zunächst, dass $x_{1}=-1$ und $x_{2}=5$ zwei Nullstellen der Funktion $f_{3}(x)$ sind, finde anschliessend alle weiteren Nullstellen und skizziere den Graphen!(1) $f_{3}(x)=x^{4}-9 x^{3}+20 x^{2}+5 x-25:(x+1)=x^{3}-10^{2}+30 x-25$

Text erkannt:

Aufgabe Gegeben ist die Funktion $f_{3}(x)=x^{4}-9 x^{3}+20 x^{2}+5 x-25$ Zeige zunächst, dass $x_{1}=-1$ und $x_{2}=5$ zwei Nullstellen der Funktion $f_{3}(x)$ sind, finde anschliessend alle weiteren Nullstellen und skizziere den Graphen!
(1) $f_{3}(x)=x^{4}-9 x^{3}+20 x^{2}+5 x-25:(x+1)=x^{3}-10^{2}+30 x-25$

Problem/Ansatz:

Ich komme leider nicht mehr weiter.

Answer 1

f(x) = x⁴ - 9·x³ + 20·x² + 5·x - 25

Horner Schema bei x = 5

1	-9	20	5	-25
0	5	-20	0	25
1	-4	0	5	0

Weil 0 heraus kommt ist x = 5 eine Nullstelle und x³ - 4x² + 5 ist das Restpolynom

Horner Schema bei x = -1

1	-4	0	5
0	-1	5	-5
1	-5	5	0

Weil 0 heraus kommt ist x = -1 eine Nullstelle und x² - 5x + 5 ist das Restpolynom

x² - 5x + 5 = 0 --> x = 5/2 ± √5/2 --> x = 1.381966011 ∨ x = 3.618033988

Skizze

Plotlux öffnen

f₁(x) = x⁴-9x³+20x²+5x-25Zoom: x(-6…6) y(-30…20)

Answer 2

f(x)=x⁴-9x³+20x²+5x-25

x₁=  -1   Nullstelle von f(x)=x⁴-9x³+20x²+5x-25

f(-1)=(-1)⁴-9*(-1)³+20*(-1)²+5*(-1)-25

(-1)⁴- 9*(-1)³+ 20*(-1)²+ 5*(-1)-25 = ?0

1+9+20-5-25=0  → Stimmt somit

x₂=5   Nullstelle von f(x)=x⁴-9x³+20x²+5x-25

f(5)=5⁴-9*5³+20*5²+5*5-25

5⁴- 9*5³+ 20*5² + 5*5- 25 = ?0

5⁴-9*5³+20*5²+5*5-25=0 → Stimmt somit

Polynomdivision:

(x⁴-9x³+20x²+5x-25):[(x+1)*(x-5)]=

=(x^4-9x^3+20x^2+5x-25):(x^2-4x-5)=x^2-5x+5

x^2-5x+5=0

x₁= 2,5+ 1/2*$\sqrt{5}$ ~~3,62

x₂= 2,5 - 1/2*$\sqrt{5}$ ~~1,38