Zeigen Sie, dass q die sogenannte Parallelogramm-Gleichungerfüllt

Question

Aufgabe:

Es sei V ein K-Vektorraum.

a) Zunächst sei β:V×V→K eine symmetrische Bilinearform auf V und q die zugehörige quadratische Form. Zeigen Sie, dass q die sogenannte Parallelogramm-Gleichungerfüllt, d.h. für v,w∈V gilt:

q(v+w) +q(v−w) = 2 (q(v) +q(w))

b) Nun sei speziell K = Q und q:V→K eine Abbildung, welche die Parallelogramm-Gleichung erfüllt. Zeigen Sie, dass q eine quadratische Form ist

Problem/Ansatz:

Ansatz zu a):

Ich weis, dass q die quadratische Form hat. damit gilt :

i) Es gilt q(ax) = a²q(x) für alle a∈K und x∈V.

ii) Die Abbildung β_q:V×V→K, (x,y) →q(x+y)−q(x)−q(y) ist eine Bilinearform auf V.

Allerdings weiß ich nicht, was ich damit machen kann. Ich hatte überlegt mit folgenden anzufangen:

q(x+y)−q(x)−q(y) = 0

q(x+y) = q(x)+q(y)

Ich Frage mich, was q(x-y) ist, ist das dann nicht auch q(x)+q(y) weil ich (-1)^2 mit i) rausziehen kann?

Jetzt weiß ich allerdings nicht wie ich weiter machen soll um auf q(v+w) +q(v−w) = 2 (q(v) +q(w)) zu kommen.

Ansatz zu b):

Ich weiß das q die Parallelogramm-Gleichung erfüllt. Damit gilt: q(v+w) +q(v−w) = 2 (q(v) +q(w)). Ich hatte damit angefangen die Gleichung umzuformen:

q(v+w) = -q(v−w) + 2 (q(v) +q(w))

= -q(v−w) + 2 q(v) + 2 q(w)

Weiter komme ich allerdings nicht.

Hat jemand einen Tipp?

Answer 1

a)  Wenn ß eine symmetrische Bilienarform ist, dann

gilt ja insbesondere ß(x,-y ) = - ß(x,y)   also für q

    q( x-y) - q(x) - q(-y)  =  - (  q(x+y) - q(x) - q(y) )

und wegen q(-y) = q ( (-1)*y) = (-1)^2 * q(y) = q(y)
                                [ Das hattest du ja schon ! ]

wird daraus  q( x-y) - q(x) -q(y)  =  - q(x+y) +q(x) +q(y)

etwas umsortieren gibt wie gewünscht

        q(x+y) +q(x−y) = 2 (q(x) +q(y))

b) Hier kann man ja mal erst schauen. Was ist q(0) ?

Wegen  q(v+w) +q(v−w) = 2 (q(v) +q(w)) gilt für alle v

      q(v+0) +q(v−0) = 2 (q(v) +q(0))

<=>     q(v) +q(v) = 2 q(v) +  2q(0)  , also q(0) = 0.

Also jedenfalls für den Faktor 0  ist die Bedingung der

quadratischen Form erfüllt q( 0*v) = q(0) = 0 = 0^2 * q(v) .

Für 1 ist es auch klar  q(1*v) = q(v) = 1^2 * q(v) .

Für 2 :     q( 2*v)  = q( v + v ) =  q( v + v ) + 0

           = q ( v + v ) + q ( v - v ) = 2 ( q(v) + q(v) ) 
                   Parallelogramm mit v=w

             = 4* q(v)  Passt also auch.

Kann man dann wohl mit Induktion für alle

Faktoren aus ℕ zeigen. Und für negative n dann durch

q( 0+nv) + q( 0-nv) = 2 q(0) + 2q(nv)

q(nv) + q(-nv) = 2 q(nv)

            q(-nv) = q(nv) = n^2 * q(v)  = (-n)^2 * q(v) .

Und dann müsste man das irgendwie noch auf die Brüche

ausdehnen.