Ist das eine Lineare Abbildung? Triviales bsp. gegeben. Rechenweg gesucht.

Question

$$f:R^2\rightarrow R^2, f(\begin{pmatrix} x1\\x2 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} x1+x2\\3*x1 \end{pmatrix}$$

Ist das eine Lineare Abbildung oder nicht?

Mein Problem:

Ich komme bei dem ersten Argument nicht weiter.

Wie kommt man hier auf das ergebnis:

$$f(x+y)=f(\begin{pmatrix} x1\\x2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} y1\\y2 \end{pmatrix})=f(\begin{pmatrix} x1+y1\\x2+y2 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} x1+y1+x2+y2\\3*(x1+y1) \end{pmatrix}$$

Woher kommt das y1 und y2. Wir haben doch nur x1 und x2 gegeben.

Answer 1

Aloha :)

Du kannst eine Abbildungsmatrix \(A\) angeben:$$\binom{x_1}{x_2}\to\binom{x_1+x_2}{3x_1}=\binom{1}{3}x_1+\binom{1}{0}x_2=\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 1\\3 & 0\end{pmatrix}}_{\eqqcolon A}\binom{x_1}{x_2}$$Mit der Existenz der Abbildungsmatrix \(A\) ist klar, dass es sich um eine linear Abbildung handelt, weil du nun automatisch alle Gesetze der Matrizenrechnung anwenden kannst.

Du kannst das aber auch gerne noch überprüfen:

$$\begin{pmatrix}1 & 1\\3 & 0\end{pmatrix}\binom{x_1+y_1}{x_2+y_2}=\begin{pmatrix}1 & 1\\3 & 0\end{pmatrix}\binom{x_1}{x_2}+\begin{pmatrix}1 & 1\\3 & 0\end{pmatrix}\binom{y_1}{y_2}$$$$\implies f(\vec x+\vec y)=f(\vec x)+f(\vec y)$$$$\begin{pmatrix}1 & 1\\3 & 0\end{pmatrix}\binom{ax_1}{ax_2}=a\begin{pmatrix}1 & 1\\3 & 0\end{pmatrix}\binom{x_1}{x_2}$$$$\implies f(a\vec x)=af(\vec x)$$

Du bist mit deiner Rechnung aber auch schon fast da:

$$f\left(\binom{x_1+y_1}{x_2+y_2}\right)=\binom{x_1+y_1+x_2+y_2}{3(x_1+y_1)}=\binom{x_1+x_2}{3x_1}+\binom{y_1+y_2}{3y_1}$$$$=f\left(\binom{x_1}{x_2}\right)+f\left(\binom{y_1}{y_2}\right)$$

Comments

$$f(\begin{pmatrix} x1\\x2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} y1\\y2 \end{pmatrix})=f(\begin{pmatrix} x1+y1\\x2+y2 \end{pmatrix})$$

Das hier ist ja wie (x)+(y)=(x+y) und das ist ja immer gegeben. Egal welche Werte ich für x und y einsetze (x)+(y)=(x+y) ist doch immer gegeben. Also gibt es doch nur lineare abbildungen?

Ich hoffe du verstehst, was ich meine.

Kannst du mir ein bsp. nennen, welches nicht Linear ist?

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(a) \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad x=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}x_{1}+4 x_{2} \\ x_{1} x_{2}\end{array}\right) \)

Hier ist es ja auch Linear.

Weil (x)+(y)=(x+y)

(x1+4*x2)+(x1+4*x2)=(x1+4*x2+x1+4*x2)

und

(x1*x2)+(x1*x2)=(x1*x2+x1*x2)

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Ein Beispiel für eine nicht-lineare Abbildung wäre:$$\binom{x_1}{x_2}\to\binom{x_1+1}{x_2}$$Durch die \(1\) kannst du keine Abbildungsmatrix aufstellen. Rechnerisch zeigt man dies am schnellsten, weil bei einer linearen Abbildung die \(0\) auf die \(0\) abgeildet werden muss, denn:$$f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)\implies f(0)=2f(0)\implies f(0)=0$$Hier wird aber \(\binom{0}{0}\) auf \(\binom{1}{0}\) abgebildet.

Die Abbildung

$$\binom{x_1}{x_2}\to\binom{x_1+4x_2}{x_1x_2}$$ ist nicht linear. Du wirst keine Abbildungsmatrix finden, denn:

$$f(a\vec x)=f\left(\binom{ax_1}{ax_2}\right)=\binom{ax_1+4ax_2}{ax_1ax_2}=a\binom{x_1+4x_2}{ax_1x_2}$$und das ist offensichtlich nicht gleich \(a\binom{x_1+4x_2}{x_1x_2}\)

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Aber

(x1+1)+(x1+1)=(x1+1+x1+1)

und

(x2)+(x2)=(x2+x2)

ist doch erfüllt?

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\( f\left(\left(\begin{array}{l}a x_{1} \\ a x_{2}\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c}a x_{1}+4 a x_{2} \\ a x_{1} a x_{2}\end{array}\right) \)

Wie kommst du denn da drauf?

Unser X1 ist doch (x1+4*x2)

Und a*x1 = a*(x1+4*x2) = (ax1+4*ax2)

Und unsere X2 ist (x1*x2)

Und a*(x1*x2)=(ax1*x2)

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Die erste Komponente stimmt, aber die zweite nicht.

Sieh es mal so:$$f\left(\binom{A}{B}\right)=\binom{A+4B}{A\cdot B}$$Jetzt ist \(A=ax_1\) und \(B=ax_2\), dann wird doch:$$f\left(\binom{ax_1}{ax_2}\right)=\binom{ax_1+4ax_2}{ax_1\cdot ax_2}=a\binom{x_1+4x_2}{x_1\cdot ax_2}\ne a\cdot f\left(\binom{x_1}{x_2}\right)$$und so kommt das \(a^2\) in die zweite Komponente, was die Linearität kaputt macht.

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\( f\left(\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c}A+4 B \\ A \cdot B\end{array}\right) \)

Damit verstehe ich es :D Danke.

Ich habe das A * B als eine "zahl" gesehen, wegen der Multiplikation.

Ist das dann bei der Addition genau so?

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Bei der Additivität knallt es auch schon:

$$f\left(\binom{x_1+y_1}{x_2+y_2}\right)\qquad\quad\;\;=\binom{(x_1+y_1)+4(x_2+y_2)}{(x_1+y_1)\cdot(x_2+y_2)}$$

$$f\left(\binom{x_1}{x_2}\right)+f\left(\binom{y_1}{y_2}\right)=\binom{x_1+4x_2}{x_1\cdot x_2}+\binom{y_1+4y_2}{y_1\cdot y_2}$$

Die erste Komponente ist noch bei beiden rechenten Seite dieselbe, aber die zweite Komponente geht schief. Da sind in der oberen Gleichung die zusätzlichen unterstrichenen Terme drin:$$(x_1+y_1)(x_2+y_2)=x_1x_2+\underline{y_1x_2}+\underline{x_1y_2}+y_1y_2$$

Bei einer linearen Abbildung dürften die unterstrichenen Terme nicht auftauchen, weil die beiden rechten Seiten identisch sein müssen.

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Durch die ausführliche Schreibweise, habe ich es verstanden.

Ich habe immer falsch eingesetzt.

Danke dir Tschakabumba! :D