Question

Man zeige mit Hilfe von Irreduzibilitätsuntersuchungen für P = x²-7 ∈ ℤ[x] direkt,
dass \( \sqrt{7} \) irrational ist.

Komme hier leider nicht ganz weiter :(.

Answer 1

Durch einen indirekten Beweis. Nimm an (x-\( \sqrt{7} \))· (x+\( \sqrt{7} \)) sei die Zerlegung von x²-7 und √7 ∈ ℤ.

Comments

Hm...

Also angenommen ich kann es als x²-7=(x+a)(x+b), a,b∈ℤ faktorisieren.

Dann: a+b=0, ab=-7 also: a=-b, -a²=-7 also: a²=7, und das kann für a∈ℤ nicht passieren. Somit also irreduzibel.

Bzw. sehen wir ja die Nullstellen in deiner Zerlegung mit \( \sqrt{7} \) und -\( \sqrt{7} \) und somit \( \sqrt{7} \), -\( \sqrt{7} \) ∉ ℤ Wie gehe ich aber jetzt weiter und zeige damit, das es irrational ist?

Answer 2

https://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium

Verwende das hier. Dann erhältst du direkt, dass P irreduzibel ist. Insb. kann es keine rationale Nullstelle a/b haben, da es sonst den Faktor (b*x-a) enthalten würde und folglich reduzibel wäre.

Answer 3

Benutze https://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium. Die rationalen Zahlen sind Quotientenkörper der ganzen Zahlen und mit dem Eisensteinkriterium folgt, dass \( x^2 -7\) in den rationalen Zahlen irreduzibel ist. Also ist \( x-\sqrt{7} \) kein Teiler von \( x^2 -7\) und damit ist \( \sqrt{7} \) keine rationale Zahl, also irrational.