Man zeige mit Hilfe von Irreduzibilitätsuntersuchungen für P = x2-7 ∈ ℤ[x] direkt, dass \sqrt{7} irrational ist.

Question

Man zeige mit Hilfe von Irreduzibilitätsuntersuchungen für P = x²-7 ∈ ℤ[x] direkt,
dass $\sqrt{7}$ irrational ist.

Komme hier leider nicht ganz weiter :(.

Answer 1

Durch einen indirekten Beweis. Nimm an (x-$\sqrt{7}$)· (x+$\sqrt{7}$) sei die Zerlegung von x²-7 und √7 ∈ ℤ.

Comments

Hm...

Also angenommen ich kann es als x²-7=(x+a)(x+b), a,b∈ℤ faktorisieren.

Dann: a+b=0, ab=-7 also: a=-b, -a²=-7 also: a²=7, und das kann für a∈ℤ nicht passieren. Somit also irreduzibel.

Bzw. sehen wir ja die Nullstellen in deiner Zerlegung mit $\sqrt{7}$ und -$\sqrt{7}$ und somit $\sqrt{7}$, -$\sqrt{7}$ ∉ ℤ Wie gehe ich aber jetzt weiter und zeige damit, das es irrational ist?

Answer 2

https://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium

Verwende das hier. Dann erhältst du direkt, dass P irreduzibel ist. Insb. kann es keine rationale Nullstelle a/b haben, da es sonst den Faktor (b*x-a) enthalten würde und folglich reduzibel wäre.

Answer 3

Benutze https://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium. Die rationalen Zahlen sind Quotientenkörper der ganzen Zahlen und mit dem Eisensteinkriterium folgt, dass $x^2 -7$ in den rationalen Zahlen irreduzibel ist. Also ist $x-\sqrt{7}$ kein Teiler von $x^2 -7$ und damit ist $\sqrt{7}$ keine rationale Zahl, also irrational.