nicht differenzierbar in x0 = 0, wie Werte richtig (in Formel) einsetzen?

Question

Aufgabe:

Nachdem ich jetzt zu dieser Aufgabe viele Videos angeschaut habe, verstehe ich immer noch nicht, was wie wo eingesetzt wird. Was ich bisher verstehe

x>=0 besitzt Folge \( \frac{1}{n} \)   weil es ja immer grösser 0 ist aber von rechts zu 0 konvergiert.

x<0 besitzt folge \( \frac{-1}{n} \)   weil es immer kleiner 0 ist und von links zu 0 konvergiert.

Wie setze ich jetzt aber diese x und x² ? Wäre froh um eine Erklärung der Zwischenschritte, da ich diese insbesondere nicht nachvollziehen kann. Also wie ich nun diese Werte weiterverarbeite.

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\text { 4) Beweise wit der Definition der } \\ \text { Differenzierbarbeit und dem Folgetritenium, } \\ \text { dass die Function } f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ \text { definiert durch } \\ \qquad f(x):=\left\{\begin{array}{ll}x & x \geqslant 0 \\ x^{2} & x<0\end{array}\right. \\ \text { in } x_{0}=0 & \text { nicht differenzierbar ist. }\end{array} \)

Comments

Am besten schreibst Du mal hierhin, was Ihr als Folgenkriterium für Differenzierbarkeit definiert habt.

Gruß

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Das lautet im Skript

Gegeben seien reelle Zahlen a und b. Die Funktion f ∶ A → R hat für x → a genau
dann den Grenzwert b, wenn für jede Folge (x_n)n∈N₀ in A mit lim n→∞  x_n = a und
x_n ≠ a ∀n ∈ N₀, die zugehörige Wertefolge (f(x_n))n∈N₀
gegen b konvergiert.

Answer 1

Du hast doch deine Definition für differenzierbarkeit. Nämlich: Lim x->y (f(x)-f(y))/(x-y)

Jetzt nimmst du deine zwei Folgen und bildest genau den linkseitigen und den rechtseitigen Grenzwert. Wie funktioniert das? Naja für deine f(x) setzt du für x deine Folge ein. Nehmen wir 1/n , die ist wie du richtig sagst positiv und damit musst du die Folge dann für dein f(x)=x ersetzen. Für für f(y) setzt du deinen Punkt ein, an dem du die Differenzierbarkeit prüfen willst, also 0. Für x setzt du 1/n und y=0 und damit ergibt sich lim 1/n -> unendlich (1/n -0)/(1/n -0) = 1. Versuchs mal für den linkseitigen Grenzwert. :) Frag wenn du etwas nicht verstehst.

Comments

verstehe ich leider nicht :( also, wenn ich recht verstehe muss ich hier mit der h-Methode (l'hopital) arbeiten oder?

mir fehlen Grundlagen und ich weiss nicht welche um das ganze zu verstehen.

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Also ich zeige es dir. Aber stell dir die Frage, ob du weißt wie die Definition für Differenzierbarkeit lautet und du weißt wie das Folgenkriterium für Differenzierbarkeit aussieht. Das sind die zwei Grundlagen, die ihr auch in der Vorlesung behandelt haben müsst.

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Bin mir nicht sicher ob das was ich bisher darunter verstehe so stimmt.

Differenzierbarkeit = wenn Differentialquotient existiert.

f(x) - f(x₀)  / x - x₀

Also hier für beide Folgen, wobei mir eben dass Einsetzen Mühe bereitet. Wenn die erhaltenen Werte übereinstimmen, dann ist es im gegebenen Punkt (x0=0) differenzierbar.

Ich erkenne oft erst nach dem Lösen von 1-2 Aufgaben wie die Definitionen gemeint sind oder anzuwenden ist.

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Hier nochmal ausführlich, ich hoffe du kannst reinscrollen und alles lesen :D

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Es läuft also bei der nicht differenzierbarkeit einer solchen Funktion darauf hinaus, dass der links und der rechtsseitige Differentialquotient zwar existieren, aber in genau einem solchen kritischen Punkt wie hier in 0 nicht übereinstimmen. Andernsfalls kann es natürtlich auch sein, dass Differentialquotient gar nicht existiert, dann würde zum Beispiel hier in diesem Beispiel nicht 1 herauskommen sondern villeicht am Ende einfach n und dann "kvgiert das gegen unendlich" -> also nicht existent. Aber der Standardfall ist der im ersten Teil beschriebene und das macht man imemr so.

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Danke dir! Also, das heisst, für die bn Folge (die obere), also Grenzwert von rechts her wäre jetzt dementsprechend

lim_{x→ 0+}   f(\( \frac{1}{n}) \)  - f(0) / \( \frac{1}{n} \) - 0

= 1

und der unteren an, das wäre glaube ich von links gewesen, kommt nicht nur hier das hoch 2 hin? in deinem Beispiel ist es in der oberen Folge bn enthalten wenn ich recht herauslese.

limx→ 0- f(\( \frac{-1}{n}) \)² - f(0) / \( \frac{-1}{n} \) - 0

= -1

?

Oder muss ich die x²  in beiden Folgen beachten? danke für deine Geduld :)

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ja musst du weil du ja die folge einsetzt also f(-1/n) . also immer für das x aber nicht für deine ganze Funktion, da aber deine Folge -1/n kleiner 0 ist und ja x=-1/n, dann ist wegen der definition von deiner Funktion f(-1/n)= (-1/n)^2. Aber was du dort ausgerechnet hast mit deinem -1 Stimmt :D