Gegeben seien zwei Ebenen: Vektorrechnung

Question

Gegeben seien die Ebenen ε1: -3x+y-z=-9 und ε2: 2x+2y+6z=14

1) Berechnen Sie eine Parameterdarstellung der Menge ε1 ∩ ε2

2) Bestimmen Sie jene Elemente von ε1 ∩ ε2, die vom Punkt M=(4/-2/0) denselben Abstand haben wie P= (2/0/-1).


 Bei Frage 1) habe ich eine Vorstellung aber Frage 2) kann ich leider nicht lösen.


LG

Answer 1

1)

Die Schnittmenge der beiden Ebenen ermittelst du, in dem du die beiden Ebenen nach einer Variablen auflöst und dann gleichsetzt.

ε1: -3x+y-z=-9      ⇔    z = -3x+y+9

ε2: 2x+2y+6z=14  ⇔    z = -x/3 - y/3 + 7/3

 

Gleichsetzen:

-3x+y+9 = -x/3 - y/3 + 7/3   Ι*3

-9x +3y + 27 = -x - y +7

 y = 2x - 5

Setze: x = t

Also: y = 2t - 5

z mit einer der beiden Gleichungen oben errechnen: z = -3*t + 2t - 5 +9 = -t + 4

Also gilt für ε1∩ε2: r = (0;-5;4)^T + t (1;2;-1)^T

 

2) Abstand von M und P:

  d = √[(x_P-x_M)²+(y_P-y_M)²+(z_P-z_M)²]

  d = √[(-2)²+ 2²+ (-1)²] = 9

 Sei S ein Punkt auf ε1∩ε2, dann gilt für x_S = t; y_S= 2t -5; z_S=-t+4

 Abstand von M und S:

 d = √[(x_S-x_M)²+(y_S-y_M)²+(z_S-z_M)²] = √[(t-4)²+(2t-5 +2 )²+(-t+4 - 0)²] =√[ t²- 8t +16 + 4t² -12t + 9 +t²- 8t +16] = √(6t² - 28t +41)

Der Abstand muss 9 sein, also:

√(6t² - 28t +41) = 9

t² - 14/3 t + 41/6) = 27/2

pq:

t₁ = 1/3* (7-√109)

t₂ = 1/3* (7+√109)

Diese t-Werte jetzt noch in  ε1∩ε2 einsetzen und du hast deine Lösungen.