Aloha ;)
Willkommen in der Mathelounge...
Was hast du denn für ein Verbrechen begangen, dass du mit so einer Aufgabe bestraft wirst? Der total antisymmetrische Einheitstensor dritter Stufe \(\varepsilon_{ijk}\) ist \(=1\), wenn die 3 Indizes zyklisch angeordnet sind und \(=-1\), wenn die 3 Indizes antizyklisch angeordnet sind. In allen anderen Fällen ist der Wert \(=0\).
$$\varepsilon_{ijk}=\left\{\begin{array}{rcl}1 &\text{falls} & i,j,k=1,2,3 &\lor& i,j,k=2,3,1 &\lor& i,j,j=3,1,2\\-1 &\text{falls} & i,j,k=3,2,1 &\lor& i,j,k=2,1,3 &\lor& i,j,j=1,3,2 \\0 &\text{sonst}\end{array}\right.$$
Damit können wir das Spatprodukt wie folgt schreiben:$$\vec a\cdot(\,\vec b\times\vec c\,)=\sum\limits_{i=1}^3a_i\cdot(\vec b\times\vec c)_i=\sum\limits_{i=1}^3a_i\sum\limits_{j=1}^3\sum\limits_{k=1}^3\varepsilon_{ijk}b_jc_k$$$$\phantom{\vec a\cdot(\,\vec b\times\vec c\,)}=a_1\sum\limits_{j=1}^3\sum\limits_{k=1}^3\varepsilon_{1jk}b_jc_k+a_2\sum\limits_{j=1}^3\sum\limits_{k=1}^3\varepsilon_{2jk}b_jc_k+a_3\sum\limits_{j=1}^3\sum\limits_{k=1}^3\varepsilon_{3jk}b_jc_k$$$$\phantom{\vec a\cdot(\,\vec b\times\vec c\,)}=a_1(b_2c_3-b_3c_2)+a_2(b_3c_1-b_1c_3)+a_3(b_1c_2-b_2c_1)$$$$\phantom{\vec a\cdot(\,\vec b\times\vec c\,)}=1\cdot((-1)\cdot3-(-2)\cdot2)+2\cdot((-3)\cdot2-(-1)\cdot1)=-9$$
