Flächeninhalt 2x2 Matrix

Question

Aufgabe:

Sei \( A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \) eine invertierbare Matrix, d.h. die Spalten von \( A \) sind linear unabhängig.
(i) Zeigen Sie, dass \( |\operatorname{det}(A)| \) der Flächeninhalt des von den Spaltenvektoren von \( A \) aufgespannten Parallelogramms ist.
(ii) Was passiert, wenn \( A \) nicht invertierbar ist?

Ansatz:

Für (a) habe ich noch keinen Ansatz

bei (b) wäre die Determinante 0, also die Vektoren linear abhängig, man könnte also kein Parallelogramm aufspannen, es gäbe keinen Flächeninhalt

Answer 1

Falls du das Vektorprodukt kennst, ist es ganz einfach:

Ergänze den Spaltenvektoren die 3. Koordinate 0 und bilde

das Vektorprodukt $$\begin{pmatrix} a\\c\\0 \end{pmatrix}x\begin{pmatrix} b\\d\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\ad-bc\end{pmatrix}$$

Dessen Betrag ist ja die Maßzahl der aufgespannten

Parallelogrammfläche, und hier ergibt sich ja gerade

der Betrag der Determinante.

Comments

Vielen Dank, aber warum genau ist diese Maßzahl dann der Flächeninhalt des Parallelogramm, wie lässt sich das geometrisch erklären?

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Betrag vom Vektorprodukt von u und v ist ja immer

|u| * |v| * sin( α ) , wenn α der Winkel zwischen den

Vektoren ist. Und das ist auch die Maßzahl der

Parallelogrammfläche.