Aloha Ragyou ;)
Willkommen in der Mathelounge...
Ich fürchte, du hast bisher noch keine Antwort bekommen, weil die Beantwortung aller 3 Fragen recht aufwändig ist. Damit du eine Idee bekommst, wie man mit dem Gauß-Verfahren arbeitet, schreibe ich dir die Schritte einzeln auf. Ziel ist es immer, so viele Spalten wie möglich zu erzeugen, die genau eine \(1\) und sonst nur \(0\) enthalten.
a) Das erste Beispiel ist ein sog. "überbestimmtes Gleichungssystem", das heißt, wir haben mehr Gleichungen als Variablen. Hier erwarten wir, dass die beiden Variablen zwei der drei Gleichungen erfüllen, aber die dritte nicht. Manchmal hängen die Gleichungen eines überbestimmten Systems aber voneinander ab, sodass mindestens eine wegfällt. Beim Gauß-Verfahren erkennt man das daran, dass Zeilen entstehen, die ausschließlich \(0\) enthalten. Schauen wir mal, wie es hier ist.
$$\begin{array}{rrr|l}x_1 & x_2 & = & \text{Aktion}\\\hline2 & 3 & 0 & -2\cdot\text{Zeile 3}\\1 & -5 & 11 & -\text{Zeile 3}\\1 & -1 & 3 &\\\hline0 & 5 & -6 & \\0 & -4 & 8 & :(-4)\\1 & -1 & 3 &\\\hline0 & 5 & -6 & -5\cdot\text{Zeile 2}\\0 & 1 & -2 & \\1 & -1 & 3 & +\text{Zeile 2}\\\hline0 & 0 & 4 &\\0 & 1 & -2 & \\1 & 0 & 1 &\\\hline\hline\end{array}$$
Jetzt siehst du das Problem. Die letzte Zeile sagt uns \(x_1=1\), die mittlere Zeile sagt uns \(x_2=-2\). Das Problem ist die erste Zeile, sie lautet als Formel geschrieben:$$0\cdot x_1+0\cdot x_2=4$$Auf der linken Seite kommt \(0\) heraus, egal was wir für \(x_1\) oder \(x_2\) einsetzen. Daher ist diese Gleichung immer falsch und das LGS hat keine Lösung:
b) Das zweite Beispiel sieht auf den ersten Blick auch wieder überbestimmt aus. Drei Gleichungen für zwei Unbekannte. Auf den zweiten Blick erkennen wir aber, dass die zweite und die dritte Gleichung sich nur in den Vorzeichen unterscheiden, also äquivalent sind. Wir erwarten also mindestens eine Nullzeile bei unseren Gauß-Umformungen:
$$\begin{array}{rrr|l}x_1 & x_2 & = & \text{Aktion}\\\hline2 & 3 & 6 & \\-6 & -9 & -18 & +3\cdot\text{Zeile 2} \\6 & 9 & 18 & -3\cdot\text{Zeile 2}\\\hline2 & 3 & 6 & \\0 & 0 & 0 & \\0 & 0 & 0 & \\\hline\hline\end{array}$$
Wir haben offensichtlich sogar \(2\) äquivalente Gleichungen gehabt. Die beiden Nullzeilen sind immer eine wahre Gleichung, denn \(0x_1+0x_2=0\) ist für alle \(x_1\) und \(x_2\) erfüllt. Wir haben nun aber nur noch eine Gleichung für zwei Unbekannte. Das heißt, wir können eine Variable völlig frei wählen, die andere ergibt sich dann aus der Gleichung. Das bedeutet, dass wir einen sog. "Freiheitsgrad" haben. Unsere Lösung ist daher eine Grade mit einer Dimension. Die Gleichung lautet:$$2x_1+3x_2=6\quad\Leftrightarrow\quad 2x_1=6-3x_2\quad\Leftrightarrow\quad x_1=3-\frac{3}{2}x_2$$Die Lösungen sind also
$$\binom{x_1}{x_2}=\binom{3-\frac{3}{2}x_2}{x_2}=\binom{3}{0}+x_2\binom{-\frac{3}{2}}{1}$$
Das entspricht deiner Musterlösung, wenn du \(t\coloneqq x_2\) setzt.
c) Wir hetten jetzt den Fall a) mit keiner Lösung, den Fall b) mit unendlich vielen Lösungen, also fehlt uns noch der Fall mit genau einer Lösung. Das wird vermutlich dieser hier sein:
$$\begin{array}{rrr|l}x_1 & x_2 & = & \text{Aktion}\\\hline2 & -7 & 9 & \\11 & 5 & 6 & \\3 & -7 & 10 & -\text{Zeile 1}\\\hline2 & -7 & 9 & -2\cdot\text{Zeile 3} \\11 & 5 & 6 & -11\cdot\text{Zeile 3}\\1 & 0 & 1 &\\\hline0 & -7 & 7 & :(-7) \\0 & 5 & -5 & :5\cdot\text{Zeile 3}\\1 & 0 & 1 &\\\hline0 & 1 & -1 & \\0 & 1 & -1 & \\1 & 0 & 1 &\\\hline\hline\end{array}$$Die ersten beiden Gleichungen sind identisch. Wir erhalten eine endeutige Lösung:$$x_1=1\quad;\quad x_2=-1$$
