Matrix von Linerarer Abbildung und Ubilder bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Vektoren
v1 = ( 3, 2)
v2 = ( 4, 3 )
v3 = ( 1, -1)
w1 = ( 1, 0, 4)
w2 = ( -1, 1, 1 )
w3 = ( 3, -1, 7 )
w4 = ( 1, 1, 1 )

(i) Geben Sie die Matrix A derjenigen linearen Abbildung L an, die v1 auf w1 und v2 auf w2 abbildet.
(ii) Auf was wird v3 unter L abgebildet?
(iii) Bestimmen Sie die Urbilder von w3 und w4

Problem/Ansatz:

Verstehe die Aufgabe leider überhaupt nicht.

Answer 1

Aloha :)

a) Bestimmung der Abbildungsmatrix.

Wir können die Abbildungen der beiden Vektoren in einer Matrix-Gleichung zusammenfassen:$$\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}=A\binom{3}{2}\quad;\quad\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}=A\binom{4}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad A\begin{pmatrix}3 & 4\\2 & 3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\0 & 1\\4 & 1\end{array}\right)$$Daraus können wir \(A\) berechnen:$$A=\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\0 & 1\\4 & 1\end{array}\right)\begin{pmatrix}3 & 4\\2 & 3\end{pmatrix}^{-1}=\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\0 & 1\\4 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}3 & -4\\-2 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)$$

b) Anwendung von \(L\) bzw. \(A\) auf \(\vec v_3\).

$$A\cdot\vec v_3=\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)\binom{1}{-1}=\begin{pmatrix}12\\-5\\23\end{pmatrix}$$

c) Den Teil hatte ich vor ein paar Tagen als eigene Frage, die findest du hier:

https://www.mathelounge.de/791084/bestimmen-sie-die-urbilder-von-w3-und-w4