Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A unter dem Graphen von f über dem Intervall I.

Question

Text erkannt:

\( \frac{e^{2 x}}{1+e^{2 x}} \)

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A unter dem Graphen von f über dem Intervall I.

c) f(x)=e^(2*x)/(e^(2*x)+1) , I=[10,11]

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich die Funktion integrieren muss und die Grenzen in die Stammfunktion einsetzen muss.

Aber ich verstehe nicht, wie man die Stammfunktion von f(x) bilden soll?  

Answer 1

Substitution:

        \(\int\limits_{a}^{b}f(\varphi(t))\cdot\varphi'(t)\mathrm{d}t=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\mathrm{d}x\)

Verwende \(\varphi(t) = 1+e^{2t}\). Du musst noch Korrekturfaktoren einbauen, wegen \(\varphi'(t)\neq e^{2t}\).

Answer 2

Wenn man es weiß ist es einfach
f = e^x /( 1 + e^x)
Wenn nach dem differenzieren eines Terms im Zähler die
Ableitung des Nenners steht dann kommt die
Funktion aus ln (..).

[ ln(term) ] ` = term ´ / term
[ ln(1 + e^x) ] ´ = e^x / ( 1+ e^x)

Da wären wir schon
S ( x ) =  ln(1 + e^x)
ist die Stammfunktion von f

Answer 3

Text erkannt:

\( \int \frac{e^{2 x}}{1+e^{2 x}} \cdot d x \)
Substitution
\( e^{2 x}=u \)
\( 2 x= \) Inu
\( x=\frac{1}{2} \cdot \ln u \)
\( d x=\frac{1}{2 u} \cdot d u \)
\( \int \frac{u}{1+u} \cdot \frac{1}{2 u} \cdot d u=\frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{1+u} \cdot d u=\frac{1}{2} \cdot \ln (1+u) \)
Resubstitution:
\( \int \limits_{10}^{11} \frac{e^{2 x}}{1+e^{2 x}} \cdot d x=\left[\frac{1}{2} \cdot \ln \left(1+e^{2 x}\right)\right]_{10}^{11}=\left[\frac{1}{2} \cdot \ln \left(1+e^{22}\right)\right]-\left[\frac{1}{2} \cdot \ln \left(1+e^{20}\right)\right] \approx 0,9999 \ldots \)

Comments

@M : Wenn es nur um die Angabe einer ungefähren Dezimalzhl für das Egebnis geht :

Die Integrandenfunktion ist für x-Werte zwischen 10 und 11 ungefähr gleich 1 (1 im Nenner kann gegenüber e^20 vernachlässigt werden) und dann ist der Integralwert (11-10)*1 also 1 und das ist auf vier Nachkommastellen viel genauer als dein 0,9999...

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https://www.integralrechner.de/  

bringt als Flächenergebnis angenähert:

0,9999999991088966 heraus!

mfG

Moliets