Orthogonale Vektoren Multiple choice

Question

Zwei Vektoren \( u, v \) heißen Orthogonal, geschrieben \( u \perp v, \) wenn \( \langle u, v\rangle=0 \) gilt.

Welche Antworten sind richtig, welche falsch?

Antworten:

1. Die Relation \( \perp \) ist symmetrisch

2. Die Relation \( \perp \) ist reflexiv

3. Die Relation \( \perp \) ist transitiv

4. Es gibt in einem n-dimensionalen Vektorraum genau \( n \) orthogonale Vektoren

5. Wenn \( A \) eine Menge mit \( \forall u, v \in A: u \neq v \Longrightarrow\langle u, v\rangle=0 \) ist, die nicht den Nullvektor enthalt, kann daraus eine Menge \( B \) mit gleicher Kardinalität konstruiert werden, die zusătzlich \( \forall u \in B:\langle u, u\rangle=1 \) erfült.

Answer 1

Zu 5.) Betrachte \(A:=\{v_1,...,v_m\}\) mit \(\langle v_i, v_j\rangle=0, \forall i\neq j \). Definiere nun \(v_i':=\frac{1}{\|v_i\|}\cdot v_i\) für alle \(i=1,...,m\). Betrachte nun \(\langle v_i', v_j'\rangle \).

Comments

Also ist die Aussage wahr. Dankeschön

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Ja, wobei mein Ansatz zu kompliziert war. Ich habe dir mal einen schöneren Ansatz hingeschrieben, der auch ohne Darstellungsmatrizen auskommt.

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@hallo97, ich habe mir im Kern das gleiche überlegt wie du, ich spare mir mal meine Antwort und gebe dir die +1. Beachte aber, dass in deinem A das u fehlt...

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Ah Danke. Ich habe es angepasst.

Answer 2

1. Die Relation \( \perp \) ist symmetrisch

richtig

2. Die Relation \( \perp \) ist reflexiv

falsch

3. Die Relation \( \perp \) ist transitiv

falsch

4. Es gibt in einem n-dimensionalen Vektorraum genau \( n \) orthogonale Vektoren

richtig

Comments

Okay danke schon mal für die rasche Antwort. Haben Sie zu 5 keine Idee?

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nein, leider nicht.