Begründen Sie Ihre Behauptung.

Question

Geben Sie alle Kombinationen \( (a, b, c, d) \in \mathbb{R}^{4} \) an, für welche die Abbildung
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto\left\{\begin{array}{ll} a x^{3}+b, & x<0 \\ \cos (x), & 0 \leq x<\frac{\pi}{2} \\ c x+d, & \frac{\pi}{2} \leq x \end{array}\right. \)
differenzierbar ist. Begründen Sie Ihre Behauptung. Zeigen Sie insbesondere auch, dass es nicht mehr als die von Ihnen gefundenen Lösungen gibt.

Answer 1

Also Differenzierbarkeit impliziert stetigkeit deiner Funktion. Das heißt, du musst erstmal deine a,b,c,d wählen, dass deine Funktion stetig wird. Und zwar wo muss drauf achten, dass sie stetig ist? Genau, an den Randpunkten 0 und pi/2, weil dort ja gerade eine Abbildung in die andere Abbildung übergeht. Dazu betrachten wir erstmal cos(x) an den Rändern. für pi/2 ist cos(pi/2)=0 und für 0 ist cos(0)=1, also wie musst du nun b und d wählen, und was gilt dann für a und c?

Answer 2

Damit es diffb. ist muss es jedenfalls an den

Flickstellen stetig sein.

Also muss gelten

b=cos(0) = 1  und c*pi/2 + d = cos( pi/2) = 0

                         ==>  d = -c*pi/2

Wenn es diffb. ist (an den Flickstellen) ist die

Ableitungsfunktion dort auch stetig, also gilt

an der Stelle 0   3ax^2   = -sin(x)

                      ==>  0 = 0   gilt also immer.

an der Stelle pi/2     c= -sin(pi/2) = -1

Also haben wir b=1 und   d = -c*pi/2 und c=-1

==>   b=1 und d = pi/2   und c=-1

und a kann beliebig sein.